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por **Colton** » Dom Jul 25, 2010 17:39

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"Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?"

Se eu tomar dois termos quaisquer: [ap = a1+(p-1)*r] + [aq = a1+(q-1)*r] chego a ap+aq = 2a1+(p+q-1-1)*r mas aí eu "empaco"...a resposta do livro é a1 = k*r, k Inteiro, isto é o primeiro termo da progressão tem que ser múltiplo da razão o que é claro, pois aí qualquer termo será múltiplo de r, assim como a soma de quaisquer termos...só eu não vislumbro os passos de ap+aq = 2a1+(p+q-1-1)*r até a1 = k*r, k Inteiro.
Agradeço uma orientação.

Gratos

Colton

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por **alexandre32100** » Qui Set 23, 2010 21:29

Bom começo.
Vou usar este mesmo caminho.
$a_n=a_1+(n-1)\cdot r \rightarrow \text{ termo geral}$
Dois termos aleatórios: a_p

e

.
$a_p+a_q=2a_1+(p+q-2)\cdot r$
Compare a soma que você obteve com o termo geral.
Veja que na "fórumla" da soma de dois termos quaisquer temos 2a_1

e na do termo geral, apenas a_1

, assim,

tem de ser divisível por

para que a soma dos dois seja um termo da PA, algo do tipo a_p+a_q=a_1+(p+q+k-2)r

onde $k\cdot r=a_1$ e é claro $k\in \mathbb{Z}$ (usei

para ficar igual à solução do teu livro), afinal não existe o termo $a_{0,5}$ numa progressão.
Não sei se consegui ser claro nessa explicação, mas é essa a ideia. Não creio que haja um forma $100\%$ algébrica para isso. :-D

por **Colton** » Sex Set 24, 2010 07:49

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Gratos, Alexandre.
Colton

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