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Polinômio Mônico

Polinômio Mônico

Mensagempor Cleyson007 » Sex Jan 22, 2010 18:35

Boa tarde!

Estou bastante confuso com a resolução da questão abaixo. Alguém pode me ajudar?

Determine, usando as propriedades da divisão:

O polinômio mônico f(x) de grau 5, tal que f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=0

Agradeço sua ajuda.

Até mais.
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Cleyson007
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Re: Polinômio Mônico

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 22, 2010 23:08

Polinômio mônico é aquele em que o coeficiente do termo de maior grau vale 1:

F(x) = x^5 + ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

Para x = 0 ----> F(0) = e ----> 0 = e -----> e = 0

Para x = 1 -----> F(1) = 1 + a + b + c + d ------> a + b + c + d + 1 = 0
Para x = -1 ----> F(-1) = - 1 + a - b + c - d ----> a - b + c - d - 1 = 0

Somando ambas as equações ----> 2a + 2c = 0 ----> c = - a

Para x = 2 -----> F(2) = 32 + 16a + 8b + 4c + 2d ------> 8a + 4b + 2c + d + 16 = 0
Para x = -2 ----> F(-2) = - 32 + 16a - 8b + 4c - 2d ----> 8a - 4b + 2c - d - 16 = 0

Somando ambas ----> 16a + 4c = 0 -----> c = - 4a

Só é possivel para a = 0 e c = 0

Não dá para calcular b, d ---> Só temos ----> b + d = - 1


F(x) = x^5 + bx³ + dx com b + d + 1 = 0 ----> Só conseguí chegar até aqui.
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Re: Polinômio Mônico

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Jan 23, 2010 21:59

Boa noite.

Mesmo que b e d sejam desconhecidos, a função ainda é:

f(x) = x^{5} + bx^{3} + dx

Certo? Ainda não valem as relações f(1)=0 e f(2)=0? Porque substituindo e resolvendo, encontrei b=-5 e d=4.

Um abraço.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: Polinômio Mônico

Mensagempor DENILSON RODRIGUES » Seg Fev 16, 2015 20:38

Boa noite,

Resolvi da seguinte maneira,

Para cada raiz descrita temos um termo (x-a) ou (x+a)que ira formar o polinômio, tal como : f(0) um termo "x" ; para f(1) um termo (x-1); para f(-1) um termo (x+1);
para f(2) m termo (x-2); para f(-2) um termo (x+2). Ao multiplicar todos os termos encontrados, temos:

(x)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0
(x^2 + 3x + 2)(x)(x^2 - 3x + 2)=0
(x^3 + 3x^2 + 2x)(x^2 - 3x + 2)=0

* (x^3)(x^2 - 3x + 2) = ( x^5 - 3x^4 + 2x^3 )
* (3x^2)(x^2 - 3x + 2) = ( + 3x^4 - 9x^3 + 6x )
* (2x)(x^2 - 3x + 2) = ( +2x^3 - 6x^2 + 4x )
+__________________________
x^5 + 0 - 5x^3 + 0 + 4x

logo: x^5 -5x^3 +4x é um polinômio mônico(o líder x^5 tem incógnita= 1) e suas raízes são:

f(0) => (0)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)= 0
f(-1)=> (x)(x-1)(-1+1)(x-2)(x+2)= (x)(x-1)(0)(x-2)(x+2)= 0
f(1) => (x)(1-1)(x+1)(x-2)(x+2)= (x)(0)(x+1)(x-2)(x+2)= 0
f(2) => (x)(x-1)(x+1)(2-2)(x+2)= (x)(x-1)(x+1)(0)(x+2)= 0
f(-2)=> (x)(x-1)(x+1)(x-2)(-2+2)= (x)(x-1)(x+1)(x-2)(0)= 0

Espero ter ajudado.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.


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