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Polinômio Mônico

Polinômio Mônico

Mensagempor Cleyson007 » Sex Jan 22, 2010 18:35

Boa tarde!

Estou bastante confuso com a resolução da questão abaixo. Alguém pode me ajudar?

Determine, usando as propriedades da divisão:

O polinômio mônico f(x) de grau 5, tal que f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2)=0

Agradeço sua ajuda.

Até mais.
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Cleyson007
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Re: Polinômio Mônico

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 22, 2010 23:08

Polinômio mônico é aquele em que o coeficiente do termo de maior grau vale 1:

F(x) = x^5 + ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

Para x = 0 ----> F(0) = e ----> 0 = e -----> e = 0

Para x = 1 -----> F(1) = 1 + a + b + c + d ------> a + b + c + d + 1 = 0
Para x = -1 ----> F(-1) = - 1 + a - b + c - d ----> a - b + c - d - 1 = 0

Somando ambas as equações ----> 2a + 2c = 0 ----> c = - a

Para x = 2 -----> F(2) = 32 + 16a + 8b + 4c + 2d ------> 8a + 4b + 2c + d + 16 = 0
Para x = -2 ----> F(-2) = - 32 + 16a - 8b + 4c - 2d ----> 8a - 4b + 2c - d - 16 = 0

Somando ambas ----> 16a + 4c = 0 -----> c = - 4a

Só é possivel para a = 0 e c = 0

Não dá para calcular b, d ---> Só temos ----> b + d = - 1


F(x) = x^5 + bx³ + dx com b + d + 1 = 0 ----> Só conseguí chegar até aqui.
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Re: Polinômio Mônico

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Jan 23, 2010 21:59

Boa noite.

Mesmo que b e d sejam desconhecidos, a função ainda é:

f(x) = x^{5} + bx^{3} + dx

Certo? Ainda não valem as relações f(1)=0 e f(2)=0? Porque substituindo e resolvendo, encontrei b=-5 e d=4.

Um abraço.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.