[Progressão geométrica] e matemática financeira

por **fernandocez** » Sex Nov 23, 2012 16:54

Essa eu também não consegui.

48) O valor de uma série uniforme A, um tempo antes do 1º pagamento, onde se tem n pagamentos iguais a P, e i é a taxa de juros, é obtido pela soma mostrada abaixo:

$A=\,\frac{P}{1+i}+\frac{P}{{(1+i)}^{2}}+\frac{P}{{(1+i)}^{3}}+...+\frac{P}{{(1+i)}^{n}}$

Uma forma equivalente dessa série é dada por:

a) $A=P\frac{1-{(1+i)}^{n}}{i}$
b) $A=P\frac{1-{(1+i)}^{-n}}{i}$ (resposta certa)
c) $A=P\frac{1+{(1+i)}^{n}}{i}$
d) $A=P\frac{1+{(1-i)}^{-n}}{i}$
e) $A=P\frac{1-{(1-i)}^{n}}{i}$

Eu tentei fazer tipo racionalizar, multipliquei o numerador e o denominador por ${(1-i)}^{n}$ e não cheguei a nenhum lugar. Aguém tem uma ideia?

por **young_jedi** » Sex Nov 23, 2012 18:37

em uma pg do tipo

$a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n}$

a soma é dada por

$a.\left(\frac{r^{n+1}-1}{r-1}\right)$

analisando a pg nos temos que a=P e $r=(1+i)^{-1}$

portanto

$A=P.\left(\frac{(1+i)^{-n-1}-1}{(i+1)^{-1}-1}\right)-P$

$A=P.\left(\frac{(1+i)^{-n}-(1+i)}{(1-(1+i)}\right)-P$

$A=P.\left(\frac{(1+i)^{-n}-1-i}{-i}\right)-P$

$A=P.\left(\frac{(1+i)^{-n}-1-i+i}{-i}\right)$

$A=P.\left(\frac{(1+i)^{-n}-1}{-i}\right)$

$A=P.\left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)$