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Questão prova concurso (sen e cos)

Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor fernandocez » Qua Mar 02, 2011 11:26

Caro amigos do Forum, já olhei em dois livros e não achei nenhuma questão parecida que me dê uma luz. Parece simples mas não achei nenhuma relação entre eles. Fiz um desenho no plano, marquei os ângulos aproximados e mesmo assim não percebi a ligação. Aguardo uma ajuda dos amigos.

64. Sabendo que cos40º = 0,766, o valor de sen10º é:
resposta: 0,174
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 02, 2011 12:12

Dica
Você vai precisar das identidades trigonométricas:
(i) \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1
(ii) \sin^2 x + \cos^2 x = 1
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor fernandocez » Sex Mar 04, 2011 00:59

Essa eu tô tentando tô chegando perto!
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor fernandocez » Dom Mar 13, 2011 00:10

LuizAquino escreveu:Dica
Você vai precisar das identidades trigonométricas:
(i) \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1
(ii) \sin^2 x + \cos^2 x = 1


Oi Luiz, eu tentei mas não cheguei a nenhum lugar. Vamos lá.

cos (2.40) = 2 cos² (40) - 1 = cos (80) = 2(0,766)² - 1
cos 80 = 2.0,587 - 1 = cos 80 = 0,174
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 13, 2011 01:19

Dica

Aplique a identidade (i) com x=20°. Com isso você irá calcular cos(20°).

Em seguida, aplique a mesma identidade para x=10°. Com isso você irá calcular cos(10°).

Por fim, use a identidade (ii) para calcular sen(10°).
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor Renato_RJ » Dom Mar 13, 2011 01:22

Fernando e Luiz, eu fiz usando outra propriedade trigonométrica, o cosseno/seno do arco metade...

\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

\sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}

Veja, se eu tenho o cosseno de 40º e quero o seno de 10º, primeiramente vou achar a metade de 40 e depois a metade de 20, veja:

\cos (20) = \sqrt{\frac{1 + 0,766}{2}} \Rightarrow \, \cos (20) = 0,939

Agora, vou achar o seno de 10º:

\sin (10) = \sqrt{\frac{1 - 0,939}{2}} \Rightarrow \, \sin (10) = 0,174

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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 13, 2011 01:27

Renato_RJ escreveu:Fernando e Luiz, eu fiz usando outra propriedade trigonométrica, o cosseno/seno do arco metade...

Essa é outra opção igualmente válida.
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor Renato_RJ » Dom Mar 13, 2011 01:31

Eu acabei achando essa relação em um livro que eu estava lendo hoje....

Mas se isso é questão de prova, essa prova deve ser bem chatinha, pois resolver essas raízes é bem enjoado....

Prof. Luiz, existe algum método para fatoração mais simples ou essas raízes tem que ser feitas no "velho método braçal" ?
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 13, 2011 01:46

Renato_RJ escreveu:Prof. Luiz, existe algum método para fatoração mais simples ou essas raízes tem que ser feitas no "velho método braçal" ?

Existem algoritmos para o cálculo de raiz quadrada. Leia a respeito na Wikipédia:
Raiz quadrada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor MarceloFantini » Dom Mar 13, 2011 03:33

Eu prefiro o algoritmo da calculadora, pessoalmente. Sobre o exercício:

\cos 80^{\arc} = \sin 10^{\arc} \Rightarrow \sin 10^{\arc} = 0,174

Sua resolução estava certa. Existem vários jeitos de resolver a questão: o seu (calculando 80 e usando o fato que eu mostrei), fazendo duas divisões usando as contas que o Luiz Aquino sugeriu ou usando a fórmula decorada do Renato (que na verdade é uma equivalente à do Luiz, porém extraindo somente a raíz positiva ele elimina ângulos do 2° e 3° quadrantes; como o exercício já definia o primeiro isto não causava problemas, mas é bom lembrar).
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor Renato_RJ » Dom Mar 13, 2011 03:41

Poxa Fantini, "fórmula decorada" doeu no coração.. kkkkkkkkkkkkkk...........
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor MarceloFantini » Dom Mar 13, 2011 03:51

Foi mal, não era a intenção...hauhauhahua.
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 13, 2011 11:23

Fantini escreveu:Sobre o exercício:

\cos 80^\circ = \sin 10^\circ \Rightarrow \sin 10^\circ = 0,174

Eis outra opção igualmente válida.

Observação
Apenas para alertar os incautos, esta solução usa a relação entre ângulos complementares: \cos x = \sin (90^\circ - x).
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Re: Questão prova concurso (sen e cos)

Mensagempor fernandocez » Dom Mar 13, 2011 12:18

Obrigado pessoal, consegui fazer a questão. Tenho que estudar mais trigonometria e também os outros assuntos.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}