Para que valor de x está definida a função?

por **Fontelles** » Ter Dez 29, 2009 10:04

Para que valores de x está definida a função?
$f(x) = \frac{\sqrt[]{sen2x - 2}}{\sqrt[]{cos2x + 3cosx - 1}}$

Rapaz, acho que pra resolver isso tem que achar um termo em comum, mas nem isso eu tô conseguindo fazer.
Tentei de outra forma, considerando que sen2x-2 será sempre < 0, independente do valor de x, então para definir a equação o divisor deveria ser < 0 também, mas não cheguei em uma resposta satisfatória com o gabarito.
Ajuda ae, pessoal!

por **Marcampucio** » Ter Dez 29, 2009 15:51

O radicando do numerador tem de ser maior ou igual a zero

$sen2x-2\geq0$

$sen2x\geq2$

$-1\leq sen2x\leq +1 \rightarrow \sqrt{sen2x-2}\,\,\cancel{\in} R$ a equação não tem solução Real.

por **Fontelles** » Ter Dez 29, 2009 19:04

Pior que não é essa a resposta, cara.
Acho que como o numerador vai sempre dar negativo, o divisor também tem de ser negativo para a raíz poder existir.

por **Marcampucio** » Ter Dez 29, 2009 19:33

Fontelles escreveu:Para que valores de x está definida a função?
$f(x) = \frac{\sqrt[]{sen2x - 2}}{\sqrt[]{cos2x + 3cosx - 1}}$

Rapaz, acho que pra resolver isso tem que achar um termo em comum, mas nem isso eu tô conseguindo fazer.
Tentei de outra forma, considerando que sen2x-2 será sempre < 0, independente do valor de x, então para definir a equação o divisor deveria ser < 0 também, mas não cheguei em uma resposta satisfatória com o gabarito.
Ajuda ae, pessoal!

só prá conferir:

a coisa é $f(x) = \frac{\sqrt[]{sen2x - 2}}{\sqrt[]{cos2x + 3cosx - 1}}$ ou é $f(x) = \frac{\sqrt[]{sen^2x - 2}}{\sqrt[]{cos^2x + 3cosx - 1}}$

na primeira forma não tem jeito mesmo, o numeradorr não é Real.

por **rvitorper** » Qui Mar 17, 2011 16:25

Vi em um livro a seguinte forma para f(x):
$f(x) = \sqrt[2]{\frac{sen 2x - 2}{cos 2x + 3cos x - 1}}$
Dessa maneira é fácil resolver. Dado que o antecedente é menor que 0, o consequente deve ser menor que 0 também para que f(x) tenha domínio real:
cos2x + 3cosx -1 < 0

O que nos dá:
$-1 \leq cos x < \frac{1}{2}$
Por fim:
$D = \left[ x \epsilon \Re / \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3} \right]$

por **Elcioschin** » Qui Mar 17, 2011 17:49

Fontelles

Quando você postar uma questão e souber a resposta, por favor POSTE-A também.
Isto facilita a vida de quem pretende ajudá-lo.

O caminho do rvitorper (de colocar tudo dentro de um mesmo radical) é o caminho correto.
Vou apenas detalhá-lo um pouco mais:

1) O numerador (sen2x - 2) é sempre negativo
2) Para se ter uma radicando POSITIVO o denominador deverá ser NEGATIVO, isto é:

cos2x + 3cosx - 1 < 0

(2*cos²x - 1) + 3cosx - 1 < 0

2cos²x + 3cosx - 2 < 0 ----> O primeiro membro é uma parábola vom a concavidade voltada para cima (a = 2)

Para esta função ser NEGATIVA cosx deve estar situada entre as raízes

Discriminante ----> D = b² - 4ac ---> D = 3² - 4*2*(-2) ---> D = 25 ----> V(D) = 5

Raízes: cosx = - 2 e cosx = 1/2

Acontece que -1 < cos x < + 1

Solução - 1 < cos x < 1/2 ----> pi/3 < x < 5pi/3 ---> Exatamente a solução do rvitorper

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