Equação Trigonométrica

por **Lana Brasil** » Qui Abr 17, 2014 21:44

Boa Noite.
Sabendo que 2 sen x + 5 cos x = 0 e que pi/2<x<pi, obtenha o valor de sen x e cos x.

Estou com dúvidas na resolução da equação acima. Resolvi cheguei a um número muito estranho para cosx e sen x mas no enunciado o intervalo corresponde a cosx negativo e senx positivo. Encontrei exatamente o contrário. Podem me ajudar, por favor?
Obrigada.

por **e8group** » Qui Abr 17, 2014 23:32

A ideia é estabelecer uma conexão entre seno e cosseno . Sabemos que isto é possível , uma das relações que nos permite escreve seno em função de cosseno e vice-versa é relação trigonométrica fundamental : sin^2 x + cos^2x = 1

.

Pois bem , vou sugerir uma álgebra que nos leva a resposta

Ps.: O intervalo é $(\pi/2,\pi) = I$ . A função cosseno é sempre negativa neste intervalo ,logo $- cos(x) > 0 , \forall x \in I$ .

Segue ,

$2 sin x + 5cos x = 0 \iff 2 sin x = - 5 cosx \iff sinx = -\frac{5}{2} cos(x)$ . Podemos dividir ambos membros $- cos(x) \neq 0$ ,

$- tan(x) = \frac{5}{2}$ . Como ambos membros é positivo , elevando ao quadrado

tan^2 x = 25/4

. Porém sabemos q 1 + tan^2 x = sec^2 x = 1/cos^2 x

.

Então , sec^2 x = 1/cos^2 x = tan^2 x +1 = 25/4 + 1 = 29/4

. Logo

ou seja

$|cos(x)| = 2/\sqrt{29}$ . Como cos(x) < 0

, obtemos $cos(x) =- 2/\sqrt{29}$ .

Agora tente terminar . Importante é compreender a ideia geral ...

por **Lana Brasil** » Sex Abr 18, 2014 14:02

santhiago escreveu:A ideia é estabelecer uma conexão entre seno e cosseno . Sabemos que isto é possível , uma das relações que nos permite escreve seno em função de cosseno e vice-versa é relação trigonométrica fundamental : .

Pois bem , vou sugerir uma álgebra que nos leva a resposta

Ps.: O intervalo é $(\pi/2,\pi) = I$ . A função cosseno é sempre negativa neste intervalo ,logo $- cos(x) > 0 , \forall x \in I$ .

Segue ,

$2 sin x + 5cos x = 0 \iff 2 sin x = - 5 cosx \iff sinx = -\frac{5}{2} cos(x)$ . Podemos dividir ambos membros $- cos(x) \neq 0$ ,

$- tan(x) = \frac{5}{2}$ . Como ambos membros é positivo , elevando ao quadrado

. Porém sabemos q .

Então , . Logo ou seja

$|cos(x)| = 2/\sqrt{29}$ . Como , obtemos $cos(x) =- 2/\sqrt{29}$ .

Agora tente terminar . Importante é compreender a ideia geral ...

Obrigada pela ajuda.
Eu já havia feito os cálculos e cheguei nos valores de sen x e cos x. O meu problema é só o intervalo. Como cheguei em um valor positivo para o cos x, apenas coloco o sinal negativo? Queria saber por que?

por **e8group** » Sex Abr 18, 2014 14:08

Por favor mostre sua resolução , assim poderei te ajudar. A princípio que posso dizer é q algo errado , cosseno é sempre negativo no intervalo .

por **Lana Brasil** » Sex Abr 18, 2014 14:29

santhiago escreveu:Por favor mostre sua resolução , assim poderei te ajudar. A princípio que posso dizer é q algo errado , cosseno é sempre negativo no intervalo .

Obrigada novamente. Acabei de descobrir meu erro bobo. Simplesmente esqueci de colocar + e - ao tirar raiz do cos x. Ou seja, a positiva não serve.