(ESPCEX) Equação logaritmica

por **natanskt** » Seg Out 11, 2010 16:16

3-)(ESPCEX) A soma de 2 numeros reais é igual a 7 e a soma dos seus logaritmos na base 100 é 1/2.
o módulo da diferença entre esses dois números é igual a:
a-)0,04
b-)0,02
c-)1
d-)3
e-)2

tambem queria saber o que significa módulo.

valeu !

por **MarceloFantini** » Seg Out 11, 2010 17:22

Vamos interpretar o enunciado:

A soma de dois números reais é 7:

a+b = 7

A soma dos seus logaritmos na base 100 é $\frac{1}{2}$ :

$\log_{100} a + \log_{100} b = \frac{1}{2}$

Agora vamos trabalhar com essas informações. A primeira equação não há muito o que fazer, já a segunda pode ser melhorada:

$\log_{100} a + \log_{100} b = \frac{1}{2} \rightarrow \log_{100} (a \cdot b) = \frac{1}{2}$

Lembrando a definição de logaritmos ( $\log_x z = w \Leftrightarrow x^w = z$ , com as restrições):

$ab = 100^{\frac{1}{2}} \rightarrow ab = \sqrt{100} = 10$

Então temos duas equações:

a+b=7

Primeiro modo:

$ab= 10 \rightarrow b=\frac{10}{a}$

Substituindo na segunda:

$a+b =7 \rightarrow a + \frac{10}{a} = 7 \rightarrow a^2 +10 = 7a \rightarrow a^2 -7a +10 = 0$

Posso fazer isso pois é certeza que $a \neq 0$ . Então:

$\Delta = (-7)^2 -4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

$a = \frac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a} = \frac{- (-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$

Respostas: a = 5

e

ou

e

.

Segundo modo:

$a+b = 7 \rightarrow b = 7-a$

$ab = 10 \rightarrow a(7-a) = 10 \rightarrow 7a -a^2 -10 = 0$

Multiplicando por (-1)

:

Veja que são meios equivalentes de se chegar na mesma resposta.

Agora entra a importância do módulo.

Módulo quer dizer distância. Módulo entre dois números quer dizer a distância entre eles na reta real. Note que a distância de 5 até 2 é 3, e a distância de 2 até 5 também é 3, porém o que muda é o sentido, simbolizado pelo sinal negativo quando vamos no sentido contrário (ou seja, de 5 para 2). Assim:

|5-2| = |2-5| = 3

Distância é sempre um número positivo, ou seja, um número absoluto.

Alternativa D.

por **natanskt** » Qua Out 13, 2010 10:20

fantini,está certo esse jeito que eu fiz....
A+B=7
A.B=10
1+6=7----1.6=6 errado
4+3=7----4.3=12 errado
5+2=7---5.2=10 igual a a.b=10

5-2=3

está certo isso?

por **MarceloFantini** » Qua Out 13, 2010 13:50

Sim, está errado pois não se deve fazer por tentativa e erro, pois é fácil ele colocar uma pegadinha tal que exista uma resposta assim mas que esteja errada. Você tem que entender o que está acontecendo, o porque do método.