[água em vasos cilíndricos] Ajuda!! Urgente!

por **Rose** » Ter Jun 07, 2011 00:25

Olá,
Estou tentando calcular este probelma, mas esta dificil!! Por exemplo, como vou fazer para achar o volume de água que deve ser passado do
vaso de menor raio para o outro a fim de que surja uma diferença de 26 cm entre os níveis
da água num e noutro vaso?

Não sei fazer! Me ajudem! O problema segue abaixo:

!) Em dois vasos cilíndricos, de eixo vertical, há água até a mesma altura; um dos
vasos tem raio 30 cm e o outro 45 cm. Qual é o volume de água que deve ser passado do
vaso de menor raio para o outro a fim de que surja uma diferença de 26 cm entre os níveis
da água num e noutro vaso?

por **carlosalesouza** » Ter Jun 07, 2011 01:44

Antes de começar... esse problema não exige logaritmo...

observemos o seguinte:
$V = \pi .r^2.h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi.r^2}$

A altura inicial de ambos e a mesma...

Note que estamos procurando um volume x que, acrescido ao volume do cilindro mais largo e retirado do volume do cilindro mais estreito implique em variações das alturas que, somadas, representarão 26cm... ok?

Vemos, pela fórmula acima, que $\frac{x}{\pi.r^2}$ corresponderá ao impacto que um volume x terá no nível da água, correto?

Assim:
$\\ \frac{x}{r_a^2.\pi}+\frac{x}{r_b^2.\pi} = 26\\ \frac{x}{45^2\pi}+\frac{x}{30^2\pi} = 26\\ \frac{2025x + 900x}{2025.900\pi} = 26\\ \frac{2925x}{1822500\pi} = 26\\ 2925x = 26.1822500\pi\\ 2925x = 47385000\pi\\ x = \frac{47385000\pi}{2925} = 16200\pi$

Ou seja, serão necessários $16.200\pi cm^3 = 16.200\pi ml = 16,2\pi l$

Esta é a quantidade de água que precisa ser transferida para ocasionar a diferença de altura desejada...

ok?

Um grande abraço

por **Rose** » Ter Jun 07, 2011 14:04

Olá, Carlos!!

Muitíssimo obrigada!! Valeu mesmo!!Não tinha nenhuma idéia por onde começar a resolver este problema.
Abraços

por **Angelica Abdalla** » Ter Jul 12, 2011 21:33

Boa noite a todos,
Vou colocar o problema e a resoluçaõ que fiz. Vcs podem ver se aonde errei?
PROBLEMA:
Em dois vasos cilíndricos, de eixo vertical, há água até a mesma altura; um dos vasos tem raio 30 cm e o outro 45 cm. Qual é o volume de água que deve ser passado do vaso de menor raio para o outro a fim de que surja uma diferença de 26 cm entre os níveis da água num e noutro vaso?
1) Escreva as equações que correspondem à situação exposta no problema (e que, portanto, permita resolvê-lo), explicando claramente quais são os elementos envolvidos e qual o raciocínio usado para estabelecer tal equação.
2) Resolva as equações para obter a resposta à pergunta posta no problema.
Resolução:

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar os conhecimentos de Geometria Espacial, sobre cilindros, no qual aplica-se no 2? ano do Ensino Médio.
Sejam R um círculo contido num plano ? e (XY) ? um segmento de uma reta s concorrente com ?. Denominamos Cilindro o conjunto dos pontos dos segmentos paralelos e congruentes a (XY) ? que têm uma extremidade em R e que estão num mesmo semi-espaço determinado por ?.

Para encontrarmos o volume do cilindro, precisamos conhecer o raio r de sua base, em vez que o volume é dado por:
V_cilindro=( área da base)×(altura)
Sabendo-se que a área da base de um cilindro é A_base=?r^2, logo, temos que o raio do cilindro é 30 cm.
Calculando a Área da base do primeiro cilindro:
A_base=??30?^2
A_base=900? cm²

Calculando o Volume:
Sabendo-se que para calcular o volume, utilizamos a seguinte fórmula:
V_cilindro=( área da base)×(altura)
Logo:

V_cilindro=900?.h cm³

Sabendo-se que a área da base de um cilindro é A_base=?r^2, logo, temos que o raio do segundo cilindro é 45 cm.
Calculando a Área da base do segundo cilindro:
A_base=??45?^2
A_base=2025? cm²

Calculando o Volume do segundo cilindro:
V_cilindro=( área da base)×(altura)
Logo:

V_cilindro=2025?.h cm³

Sabemos que h é a altura inicial dos dois cilindros
V_1, significa o volume inicial do primeiro cilindro: 900?h cm³
V_2, significa o volume inicial do segundo cilindro: 2025?h cm³
Chamaremos x o decréscimo do nível no primeiro vaso
e y acréscimo do nível no segundo vaso.
? V?_1', significa o volume do primeiro cilindro após a passagem do líquido: 900?(h-x)cm³
V_2', significa o volume do segundo cilindro após a passagem do líquido: 2025?(h+y) cm³
Logo:

V_1+V_2=V_1'+V_2'
Sendo que V_1=900? e V_1=900(h-x)volume após a passagem do líquido;
900?h+2025?h=900?(h-x)+2025?(h+y)

900?h+2025?h=900?h-900?x+2025?h+2025?y

900?h+2025?h-900?h-2025?h=-900?x+2025?y

900?x=2025?y

Sabendo-se que x+y=26, e substituindo o x teremos

x+y=26 ? x=26-y

900?x=2025?y ,simplificando ambos por 225 obteremos
4x=9y ? 4x/9=y
Resolvendo este sistema:

x=26-4x/9?9x/9=234/9-4x/9
9x+4x=234
13x=234
x=234/13
x=18 cm
Agora sabemos quanto vale o x, Substituindo na equação acima:

x=26-y
18=26-y
18-26=-y
-8=-y (×-1)
y=8 cm

Encontramos o valor de x e y e substituindo-os obteremos o valor do volume da água que sairá do recipiente de menor raio para o outro;
900?x cm³=2025?ycm³

900?×18=2025?×8

16.200? cm³=16200? cm³
Resposta: Podemos concluir que o volume de água que deve ser passado do cilindro de menor raio para o outro a fim de que surja uma diferença de 26 cm corresponde a 16200? cm³