Geometria

por **Emilia** » Qua Fev 16, 2011 12:06

1. Uma pirâmide hexagonal regular tem aresta da base medindo 6cm. Se sua altura é de
10cm, qual será o comprimento de cada aresta lateral? Desenhe uma planificação para ela. (Você
pode usar o programa computacional Geogebra ou o Cabri Géomètre)

2. Um octaedro regular é seccionado na terça parte de suas arestas que concorrem em um
mesmo vértice e retiradas as pirâmides de base quadrada, resulta um poliedro arquimediano
composto por faces hexagonais regulares e faces quadradas chamado Octaedro truncado.
Dica: Procure descobrir se é possível usar a relação de Euler para achar o número de
vértices. Para o cálculo do número de diagonais, deduza uma expressão geral, partindo do
seguinte raciocínio: Considerando todos os vértices existentes no polígono, quantos
segmentos de retas podemos formar, sabendo que cada um destes segmentos é formado
por dois vértices? Deste número obtido, o que eu preciso retirar, para sobrar apenas as
diagonais do polígono?
a) Determine o número de vértices desse novo poliedro;
b) O número de diagonais desse novo poliedro;
c) determine a distância entre duas de suas faces quadradas opostas (paralelas). Para isto,
considere que, originalmente, cada aresta do octaedro regular media a cm.

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 12:31

Cara Emilia, tudo em paz ???

Seguinte, a primeira questão é bem tranquila, veja, se você tem uma piramide de base hexagonal regular, o ponto de encontro das arestas laterais terá projeção no centro da base, logo a distância entre um dos vértices do hexágono com o centro será 6 cm (lembre-se, o hexágono é regular), logo, use o teorema de Pitágoras (você verá um triângulo retângulo formado pela altura de 10 cm e a distância entre o vértice ao centro de 6 cm, a aresta lateral será a hipotenusa), e assim teremos uma aresta lateral de $2 \cdot \sqrt{34}$ .

O segundo problema eu não entendi muito bem, vou tentar aqui....

por **Emilia** » Qua Fev 16, 2011 17:07

Renato, obrigada pela ajuda.
No exercício 2 não consegui colocar a figura.

por **Emilia** » Qua Fev 16, 2011 17:09

Renato, anexei um arquivo com a figura do ex. 2.
Obrigada.

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 18:24

Opa, com a figura melhorou sensivelmente, ainda mais levando em conta que geometria euclidiana não é a minha matéria favorita da matemática.. Desculpinha esfarrapada para os meus erros.. rsss...

Seguinte, o quê eu consegui fazer:

a) achei 24 vértices..

b) $D = \frac {V \cdot (V - 1)}{2} - A - \Sigma df$
Mas eu contei com 8 faces hexagonais e 8 faces quadradas, para um octaedro truncado. Logo:

$D = \frac {24 \cdot (24 -1)}{2} - 36 - (8 \cdot 9) + (8 \cdot 2) \Rightarrow \, D = 152$

c) Se você considerar que a distância entre o centro do octaedro truncado até o centro da face hexagonal mede $\frac{\sqrt{6}}{2}$ , então teremos:
$\sqrt{6a}$ cm de distância entre as faces hexagonais passando pelo centro... A primeira fórmula é encontrada nos livros e até mesmo no site do Wolfram.

Quanto a formula de Euler, sim, ela pode ser usada, pois o sólido continua regular...
Antes de escrever tudo isso, dá uma conferida nas contas e definições, posso ter deixado passar algo...

Abraços,
Renato.

por **Emilia** » Qua Fev 16, 2011 23:26

Renato, obrigada pela ajuda até agora!
Você viu que no ex. 1 pede para fazer a planificação da pirâmide? Pois é, já utilizei o winplot para construção de gráficos, agora o 'geogebra' nunca usei. Se você sabe como usar pode me passar o passo-a-passo de como construir a pirâmide?
Obrigada.

por **Renato_RJ** » Qui Fev 17, 2011 01:11

Emilia, o que eu entendo por planificar uma pirâmide seria desenhar sua base... Mas, por via das dúvidas, segue um excelente canal do youtube que tem um tutorial do prof. Luiz Aquino (aqui do forum mesmo) - http://www.youtube.com/user/LCMAquino - foi onde eu aprendi a usar o Geogebra...

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Renato.