Existem duas formas, na minha opinião, de resolver esse problema. A primeira é observando o comportamento do volume de óleo do tanque para um número finito de golpes. Este, a fim de identificar um padrão e modelar uma função
que calcule o volume de óleo do tanque após o n-ésimo golpe. A segunda forma é identificar uma relação básica de recorrência, que existe pro trás do problema, e solucioná-la.
Pela primeira forma:
Veja que
representa o volume inicial de óleo no tanque, isto é, antes de iniciados os golpes. Portanto, temos a sequência de
volumes sucessivos de óleo no tanque dada por
Como cada golpe extrai 10% do volume do tanque, então temos, para
a relação
.
Para
então teremos
.
Você não tardará em perceber que é válida para esta a relação
.
Pela segunda forma:
É fato que o volume de óleo no tanque do n-ésimo golpe tira 10% do volume de óleo que existia no tanque após o (n-1)-ésimo golpe. Assim, temos a seguinte equação recorrênte:
.
Para solução desta suponhamos uma função do tipo
, onde c é uma constante arbitrária e L um valor a ser determinado real ou complexo. Aplicando esta hipótese na equação obtemos
.
Supondo que
, pois nesse caso a solução seria trivial, podemos simplificar
na equação e obtemos
.
Portanto a solução da equação é
[/tex] onde
, pois
.
Exatamente a mesma solução que obtivemos por inspeção!
Para resolver a letra a) basta susbtituir
.