Função do 2° grau - o menor valor numa expressão

por **PeterHiggs** » Sex Mai 25, 2012 22:24

Considere x,y $\in \Re$ tais que 3x - y = 20. O menor valor de $\sqrt{x^2 + y^2}$ é:

a) 2 $\sqrt{5}$

b) 2 $\sqrt{10}$

c) 2 $\sqrt{15}$

d) 4 $\sqrt{5}$

e) 4 $\sqrt{10}$

Resposta: Alternativa b)

* Bom, aqui está o que eu tentei fazer, mas obviamente não fechou com o resultado:

3x - y = 20
y = 3x - 20;

Substituindo na raiz:
$\sqrt{x^2+y^2}$

$\sqrt{x^2+(3x-20)^2}$

$\sqrt{10x^2-120x+400}$

O valor sob a raiz sera o menor possível no vértice da parábola descrita pela função

, já que o coeficiente de x^2

é positivo (ou seja, concavidade pra cima, e valor mínimo).

yv = $\frac{-\Delta}{4a}$ ;

yv = $\frac{-b^2+4ac}{4a}$ ;

yv = $-\frac{144-160}{4}$ ;

yv = 4;

Raiz de 4 é 2. Não fecha com nenhuma das alternativas. Alguém pode me indicar o caminho certo? Qual seria o menor valor assumido pelo expressão na raiz?

por **PeterHiggs** » Sáb Mai 26, 2012 16:09

Ops, pessoal, foi mal. Cometi um ridículo equívoco com relação ao cálculo do yv na equação do 2° grau.

Simplifiquei a equação 10x^2-120x+400

para

, e daí calculei o yv. Não sei porque fiz isso...

Me desculpem pela distração!

Resolução correta:

3x - y = 20
y = 3x - 20;

Substituindo na raiz:
$\sqrt{x^2+y^2}$

$\sqrt{x^2+(3x-20)^2}$

$\sqrt{10x^2-120x+400}$

O valor sob a raiz sera o menor possível no vértice da parábola descrita pela função

, já que o coeficiente de x^2

é positivo (ou seja, concavidade pra cima, e valor mínimo).

yv = $\frac{-\Delta}{4a}$ ;

yv = $\frac{-b^2+4ac}{4a}$ ;

yv = $-\frac{14400-16000}{-40}$

yv = 40;

Raiz de 40 é 2 $\sqrt{10}$ . Alternativa b)