Função Inversa

por **OtavioBonassi** » Qui Jul 14, 2011 23:04

Galera, tenho um sério caô em trabalhar com função inversa de polinomios ,como eu resolvo "Função inversa de x³ + 2x + 1"

Na verdade o exercício é o seguinte :

"Se f(x) = x³ + 2x + 1 e g é a função inversa de f, entao g'(1) é igual a :"

Não sei se tem alguma relaçao entre os dois coeficientes de funçoes inversas, tem ?

Valeu !

por **Molina** » Sex Jul 15, 2011 12:22

Bom dia, Otavio.

De que livro você retirou esta questão? Pergunto isso pois a inversa dessa função é um tanto quanto complexa, como você pode ver clicando aqui.

Mas podemos perceber que a f intercepta o eixo y no ponto 1:

$f(x) = x^3 + 2x + 1 \Rightarrow f(0) = 1$

Como a inversa é simétrica em relação a y = x, temos que a g vai interceptar o eixo x no ponto 1.

Ou seja, g(1) =0

por **MarceloFantini** » Sex Jul 15, 2011 20:08

Imagino que a questão seja sobre Cálculo 1, visto que pelo o que eu li ele quer g'(1)

e não

. Basta aplicar o teorema da derivada da função inversa (que eu não me lembro agora).

por **LuizAquino** » Sex Jul 15, 2011 21:51

Note que não é necessário determinar explicitamente a expressão da função g.

Queremos apenas calcular g'(1).

Como sugeriu Fantini, utilizando o teorema da derivada da função inversa, sabemos que $[f^{-1}(x)]^\prime = \frac{1}{f^\prime\left(f^{-1}(x)\right)}$ .

Portanto, nesse exercício temos que $g^\prime(x) = \frac{1}{f^\prime\left(g(x)\right)}$ .

Isso significa que $g^\prime(1) = \frac{1}{f^\prime\left(g(1)\right)}$ .

Note que todo o seu trabalho irá se resumir a determinar a derivada de f e calculá-la em g(1). Em seguida, basta tomar o inverso desse número.

por **Molina** » Sex Jul 15, 2011 22:11

Boa noite.

Peço desculpas por não ter visto o símbolo de derivada na função g. :n:

Bom final de semana a todos!

por **OtavioBonassi** » Sáb Jul 16, 2011 12:38

Opa, desconhecia esse teorema da função inversa, acho que isso facilita bastante a resolução hehe.

Valeu !

por **LuizAquino** » Sáb Jul 16, 2011 18:14

OtavioBonassi escreveu:Opa, desconhecia esse teorema da função inversa, acho que isso facilita bastante a resolução hehe.

Se você desejar estudar mais sobre a derivada de funções inversas, então assista a vídeo-aula "15. Cálculo I - Derivada da Função Inversa". Eu acredito que ela possa lhe ajudar.

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