Função quadrática

por **maria cleide** » Qui Mai 19, 2011 12:35

Considere a função quadrática f(x)=px^2-q

e

, onde p e q são números reais não nulos. A área do quadrilátero que tem como vértices os pontos de intersecção dos gráficos com os eixos coordenados vale:

A-( ) $\sqrt{\dfrac{q^3}{p}}$
B-( ) $\sqrt{\dfrac{q^2}{p}}$
C-( ) $\sqrt{\dfrac{2q^3}{p}}$
D-( ) $\sqrt{\dfrac{2q^2}{p}}$
E-( ) $\sqrt{\dfrac{4q^3}{p}}$

Como fiz: Apliquei a fórmula de bhaskara e encontrei as raizes: $0, \dfrac{q}{p}$ . Mas agora não sei continuar

por **FilipeCaceres** » Qui Mai 19, 2011 14:26

Temos

e

Para encontrar o ponto de intersecção do gráfico com as coordenadas, basta calcular y_v

Para f(x) temos:
$y_{v_f}=-q$

Para g(x) temos:
$y_{v_g}=q$

A distância de $y_{v_f}$ até $y_{v_g}$ corresponde a uma das diagonais, para encontrar a outra diagonal devemos encontrar a intersecção entre os gráficos,para isso façamos f(x)=g(x),então temos,
px^2-q=-px^2+q

$x=\pm \sqrt{\frac{q}{p}}$

Sabendo as diagonais é fácil calcular a área de um quadrilátero, supondo que "a" e "b" são nossas diagonais e que $\theta$ seja o angulo entre elas temos que a área do nosso quadrilátero é calculo por:
$A=\frac{a.b.sin \theta}{2}$

Agora observe que tanto os valores de y_v

quanto os valores

estão sobre os eixo das coordenadas e abscissas respectivamente, e desta forma o nosso valor de $\theta =90$

Assim temos,
$A=\frac{\cancel{2}q.2\sqrt{\frac{q}{p}}}{\cancel{2}}$

Portanto,
$A=\sqrt{\frac{4q^3}{p}}$

Espero que seja isso.

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