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Funções com mais de uma variável - curvas de nível

Funções com mais de uma variável - curvas de nível

Mensagempor Victor Mello » Sex Fev 21, 2014 14:23

Galera, eu estou tentando esboçar curvas de nível da função f(x,y)=4x^2+9y^2 para c=0; c=2; c=4 e c = 6

O meu problema é resolver esse tipo de função atribuindo os valores de c pelo simples motivo:

Uma dica que essa questão me deu é que essa função representa uma elipse, mas eu não enxerguei isso.

Eu tentei verificar se essa função é ou não uma elipse completando quadrados. Então seria mais ou menos assim: (2x + 0)^2 para o x e (3y + 0)^2 para y, centro na origem.

E na hora de comparar essa função, atribuindo para c = 2, por exemplo, eu dividi toda a equação por 2, e olha o que aconteceu: \frac{(2x+0)^2}{2} + \frac{(3y+0)^2}{2} = 1

Os semi-eixos maior e menor são iguais, então não poderia ser uma elipse, e sim uma circunferência, pois os raios são iguais.

Será que tem alguma alternativa que demonstra que essa equação realmente é de uma elipse?

Bom, espero que tenham compreendido a minha dúvida e obrigado para quem pôde me ajudar. :-D



Abraço!
Victor Mello
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Re: Funções com mais de uma variável - curvas de nível

Mensagempor young_jedi » Sex Fev 21, 2014 16:16

a maneira que eu utilizo para verificar se é uma elipse é esta

4x^2+9y^2=c

\frac{4x^2}{c}+\frac{9y^2}{c}=1

\frac{x^2}{\frac{c}{4}}+\frac{y^2}{\frac{c}{9}}=1


o eixo menor mede

2.\frac{\sqrt{c}}{2}

e o maior

2.\frac{\sqrt{c}}{3}
young_jedi
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Re: Funções com mais de uma variável - curvas de nível

Mensagempor Victor Mello » Sex Fev 21, 2014 20:53

Ahh sim, verdade. Esqueci desse detalhe. E realmente é uma elipse, uma vez que os valores dos semi-eixos são diferentes, já achei. Agora sim!


Obrigado pela atenção. :y:
Victor Mello
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.