Proposições com variáveis

[rrt]

Pessoal, alguém me ajuda a entender a questão abaixo:

CESPE/UnB – SERPRO/2013 - Considerando que x,y e z sejam números naturais tais que
x+y=z;que X seja a proposição “x é ímpar”; que Y seja a proposição
“y é par”; e que Z seja a proposição “z é ímpar”, julgue os seguintes
itens.

A proposição X^Z->Y é verdadeira.

A proposição Y->X^Z é verdadeira.

[MateusL]

A proposição significa:

é ímpar e é ímpar implica que é par.

A proposição significa:

é par implica que é ímpar e é ímpar.

Usando o fato de que , com naturais, terás que verificar se essas sentenças são verdadeiras ou falsas.

[Russman]

Todo número par pode ser escrito da forma onde é um número natural, ao passo de que todo ímpar pode ser escrito como .

Assim, se tomarmos e ímpares, então e , e naturais, de forma que



e, garantido que, então se e forem naturais a sua subtração também o é. Logo, pode ser escrito como ( onde é um número natural) e , portanto, será par.
Agora, se tomarmos ( um par) , então



A diferença tem de ser par e isso só ocorre se ambos forem ímpares ou ambos forem pares.

[rrt]

Ok, obrigado.

Mas por que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa?

A proposição X^Z->Y é verdadeira. Verdadeira

A proposição Y->X^Z é verdadeira. Falsa

[MateusL]

A primeira é verdadeira porque, como o Russman mostrou, se e são ímpares, então teremos par.

Já a segunda sentença é falsa porque, se tivermos par, não teremos necessariamente e ímpares. Como o Russman falou, podemos ter e pares. Portanto, sabendo apenas que é par, não podemos podemos afirmar que e são ímpares.

[rrt]

Entendi. Obrigado.