Proposições com variáveis

por **rrt** » Dom Jul 28, 2013 20:57

Pessoal, alguém me ajuda a entender a questão abaixo:

CESPE/UnB – SERPRO/2013 - Considerando que x,y e z sejam números naturais tais que
x+y=z;que X seja a proposição “x é ímpar”; que Y seja a proposição
“y é par”; e que Z seja a proposição “z é ímpar”, julgue os seguintes
itens.

A proposição X^Z->Y é verdadeira.

A proposição Y->X^Z é verdadeira.

por **MateusL** » Dom Jul 28, 2013 23:37

A proposição $X\wedge Z\implies Y$ significa:

é ímpar e

é ímpar implica que

é par.

A proposição $Y\implies X\wedge Z$ significa:

é par implica que

é ímpar e

é ímpar.

Usando o fato de que x+y=z

, com

naturais, terás que verificar se essas sentenças são verdadeiras ou falsas.

por **Russman** » Seg Jul 29, 2013 03:47

Todo número

par pode ser escrito da forma N=2n

onde

é um número natural, ao passo de que todo

ímpar pode ser escrito como 2n+1

.

Assim, se tomarmos

e

ímpares, então x=2n+1

e

,

e

naturais, de forma que

$x+y = z \Rightarrow 2n+1 + y = 2k +1 \Rightarrow y = 2k+1 -2n - 1 \Rightarrow y = 2k-2n \Rightarrow y = 2(k-n)$

e, garantido que k>n

, então se

e

forem naturais a sua subtração também o é. Logo,

pode ser escrito como y=2j

( onde

é um número natural) e , portanto,

será par.
Agora, se tomarmos y = 2j

( um par) , então

$x+y = z \Rightarrow z-x = 2j$

A diferença z-x

tem de ser par e isso só ocorre se ambos forem ímpares ou ambos forem pares.

por **rrt** » Seg Jul 29, 2013 13:37

Ok, obrigado.

Mas por que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa?

A proposição X^Z->Y é verdadeira. Verdadeira

A proposição Y->X^Z é verdadeira. Falsa