[Função exponencial] com expressão

por **paola-carneiro** » Sex Abr 06, 2012 16:40

A questão é essa:
(Faap-SP) Resolva em IR: ${5}^{10x} - 10.{5}^{5x}-5 = -30$

Sei que em função exponencial temos que igualar a base, e depois retirá-lo e resolver os expoentes. Mas nessa expressão, se fatorarmos o 5 e o 10, fica ${5}^{1.2} e {5}^{1.6}$ , se não me engano. E no caso a expressão fica:

${5}^{10x} - {5}^{1.2}.{5}^{5x}-5 = -{5}^{1.6}$
e a partir dai, não sei como resolver a expressão.
ajuuuda?!

por **MarceloFantini** » Sex Abr 06, 2012 19:09

Não, isto não está correto. Não existe igualar bases, veja que em 2^x = 7^x

não há sentido em "igualar as bases". O que você diz é sim quando temos exponenciais de mesma base, não que igualamos. Neste caso, para que sejam iguais, deve-se ocorrer que os expoentes são os mesmos devido ao fato que a função exponencial é injetora.

Esta questão é uma das tradicionais mudanças de variável. É importante lembrar a propriedade fundamental da função exponencial de que ela nunca se anula, ou seja, $a^x \neq 0$ SEMPRE, para todo a>0

. Perceba que $5^{10x} = (5^{5x})^2$ . Então faça $t=5^{5x}$ . A equação toma a forma

$5^{10x} - 10 \cdot 5^{5x} -5 = -30 \implies (5^{5x})^2 - 10 \cdot (5^{5x}) -5 = -30 \implies$

$\implies (t)^2 -10 \cdot t -5 = -30$ .

Temos agora uma equação do segundo grau em t. Tente prosseguir e mostre seus passos.