Racionalização

por **nathyn** » Sex Fev 10, 2012 15:21

Oie, gostaria de uma ajuda pra racionalizar isso ae, por favor...

$\frac{\sqrt[3]{9} - 1}{\sqrt[3]{3} - 1}$

Eu já tentei fazer multiplicando por" $\sqrt[3]{3} + 1$ ", mas não acaba não saindo da raiz nunca =/
Se puderem me ajudar... Por favor.

por **Arkanus Darondra** » Sex Fev 10, 2012 17:37

Simples, basta usar o conceito de diferença de quadrados e um pouco de manipulação:
$\frac{\sqrt[3]{9} - 1}{\sqrt[3]{3} - 1}$

$\frac{\sqrt[3]{3^2} - 1}{\sqrt[3]{3} - 1}$

$\frac{(\sqrt[3]{3})^2 - 1^2}{\sqrt[3]{3} - 1}$

$\frac{(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{3}+1)}{\sqrt[3]{3} - 1)}$

$\sqrt[3]{3}+1$

nathyn escreveu:Eu já tentei fazer multiplicando por" $\sqrt[3]{3} + 1$ ", mas não acaba não saindo da raiz nunca =/
Se puderem me ajudar... Por favor.

Seu raciocínio está quase correto. Neste caso deveriamos ter em mente o seguinte:
$\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
(a-b)(a^2-ab+b^2)=a^3-b^3

Logo:

$\frac{\sqrt[3]{9} - 1}{\sqrt[3]{3} - 1}$

$\frac{\sqrt[3]{3^2}-1^2}{\sqrt[3]{3}-1}.\frac{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}.1+1^2}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}.1+1^2}$

$\frac{(\sqrt[3]{3}+1)(\sqrt[3]{3}-1^3)}{\sqrt[3]{3}-1^3}.\frac{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}.1+1^2}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}.1+1^2}$

$\frac{(\sqrt[3]{3}+1)(\sqrt[3]{3^3}-1^3)}{\sqrt[3]{3^3}-1^3}$

$\frac{(\sqrt[3]{3}+1)(3-1)}{3-1}$

$\sqrt[3]{3}+1$