[Equação modular] Duas "parcelas"

por **renato9** » Dom Dez 25, 2011 15:27

Como resolver equações modulares quando existem duas "parcelas"? Tentei usar a definição de módulo, mas acho que não é o método mais adequado.
Segue a equação-exemplo:
$\left|x-2 \right| - \left|2x-1 \right| = -1$

por **fraol** » Dom Dez 25, 2011 20:24

Olá Renato,

Uma forma de você resolver seria por intermédio da construção do gráfico de cada uma das funções e verificar os

nos quais ocorre a intersecção dos gráficos, mas pela definição também sai, tem que sair, só que deve-se aplicá-la duas vezes, uma para cada equação modular, vamos obter assim 4 equações, depois de resolvê-las validamos as respostas eliminando, eventualmente, as que não satisfazem a equação original.

Valeu?
Francisco.

por **renato9** » Dom Dez 25, 2011 21:42

Obrigado pela atenção, Francisco.
Resolvendo, fiz o seguinte:
$\left|x-2 \right|-\left|2x-1 \right|=-1$
Imagem

Mas deve haver algum erro, pois do resultado, somente um elemento (

) serve como solução, contrariando, assim, o gabarito oficial, que coloca na resposta a existência de dois elementos como solução, com $x \epsilon R$ . Há algum erro no procedimento?

Grato.

por **fraol** » Dom Dez 25, 2011 22:08

Apliquei a definição em

|x-2| = |2x -1| - 1

da seguinte forma:

(1a) $x-2 = 2x -1 -1 \iff x = 0$

(1b) $x-2 = -2x +1 - 1 \iff 3x = 2 \iff x = 2 / 3$

(2a) $-x + 2 = 2x -1 -1 \iff 3x = 4 \iff x = 4 /3$

(2b) $-x + 2 = -2x +1 - 1 \iff x = -2$

Testando os valores encontrados vemos que a solução é x = -2

ou

O que você acha?

por **renato9** » Dom Dez 25, 2011 22:14

Pensei nisso e havia achado também o $\frac{4}{3}$ . O problema é que se houvesse três ou mais "parcelas", tornaria o processo bastante trabalhoso.
Alguma sugestão em relação a isso?

Obrigado.

por **fraol** » Dom Dez 25, 2011 22:29

Oi Renato,

Não vejo saída nesses casos, ou plotamos as funções modulares num software e pegamos as intersecções ou desenvolvemos as equações através da aplicação da definição - nesses casos serão 2^n

equações, sendo

o número de módulos na expressão original.

Se algum outro colega que nos lê tiver alguma alternativa manda pra gente.

Abç,
Francisco.

por **renato9** » Dom Dez 25, 2011 22:39

É isso, Francisco. A utilização da definição em casos de mais parcelas seria inviável na ocasião de uma prova com muitas questões e pouco tempo. É bastante possível para essa questão, no entanto. Obrigado pela ajuda e vamos aguardar alguma sugestão de outro colega.

Abraços.