Expressão com raiz quadrada

por **jose henrique** » Dom Ago 15, 2010 15:08

A expressão :
$\sqrt[]{10+\sqrt[]{10}}X \sqrt[]{10-\sqrt[]{10}} =\sqrt[]{10}+\sqrt[4]{10}X \sqrt[]{10}- \sqrt[4]{10} =?$

partir é que pintou a dúvida da resolução

por **alexandre32100** » Dom Ago 15, 2010 20:57

José, $\sqrt[]{10+\sqrt[]{10}}\times \sqrt[]{10-\sqrt[]{10}}\not=\sqrt[]{10}+\sqrt[4]{10}\times \sqrt[]{10}- \sqrt[4]{10}$ e isto pode ser visto, sei lá, com uma calculadora, se quiser (usei o Google, também dá :-D

)
Mas, o que eu quero dizer é que você não pode dizer que $\sqrt{10\pm\sqrt{10}}=\sqrt{10}\pm\sqrt[4]{10}$ . Isto só pode ser feito se você tiver, no lugar da adição (ou subtração), uma multiplicação, pois dai sim pode usar as propriedades das potências (afinal, a raiz não é mais do que uma potência fracionária). Por exemplo:
$\sqrt{10\cdot\sqrt{10}}=(10\cdot10^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=10^{\frac{1}{2}}\cdot10^{\frac{1}{4}}=\sqrt{10}\cdot\sqrt[4]{10}$ .
Para resolver este problema, você deve usar uma das propriedades dos "Produtos Notáveis" que diz que (a+b)(a-b)=a^2-b^2

, assim:
$\sqrt[]{10+\sqrt[]{10}}\times \sqrt[]{10-\sqrt[]{10}}=\sqrt{(10+\sqrt{10})(10-\sqrt{10})}}$
$\sqrt{100-10}=\sqrt{90}=3\sqrt{2\cdot5}=3\sqrt{10}$ (observe que $90=2\cdot3^2\cdot5$ ).

por **jose henrique** » Seg Ago 16, 2010 10:33

obrigado!

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