Fatoração - Dúvida

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Fatoração - Dúvida

Mensagempor Danilo » Sáb Mar 09, 2013 12:16

Eu estava resolvendo um exercício de indução mas não consegui deixar a resposta como na do livro.

Cheguei a


\frac{k\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)}{6} + {\left(k+1 \right)}^{2} =


\frac{k\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)+6\left({k+1}^{2} \right)}{6}

e quero chegar a (mas não sei como)

\frac{\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)\left(2k+3 \right)}{6}


Grato a quem puder ajudar !
Danilo
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Re: Fatoração - Dúvida

Mensagempor e8group » Sáb Mar 09, 2013 13:16

Boa tarde . Deixando k+1 em evidência ,temos no numerador (k+1)[k(2k+1) +6(k+1)] .

De 2k+1 = [2k+3] +(-2), obtemos k(2k+1) = k([2k+3] +(-2)) e ainda por distributividade resulta ,[2k+3]k - 2k ; logo ,

k(2k+1) +6(k+1) = [2k+3]k - 2k + 6(k+1) = [2k+3]k +(6k +(-2k) ) + 6 = [2k+3]k + 4k +6 = [2k+3]k + 2[2k+3] = [2k+3][k+2]=

e portanto ,

(k+1)[k(2k+1) +6(k+1)] = [k+1][2k+3][k+2]
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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