[Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

por **IlgssonBraga** » Sáb Jul 26, 2014 15:30

Sejam $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow Z$ funções. Demonstre que:
Se gof é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora. Onde gof=g(f(x)).

por **ant_dii** » Sáb Jul 26, 2014 16:32

Por definição, como

é sobrejetora, para qualquer $y \in Y$ existe, pelo menos, um $x \in X$ tal que f(x)=y

.

Também por definição, como $g\circ f$ é injetora segue que para $x_1\neq x_2$ em

implica que $(g \circ f)(x_1) \neq (g \circ f)(x_2)$ em

.

Mas $(g \circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(y_1)$ e $(g \circ f)(x_2)=g(f(x_2))=g(y_2)$ para y_1=f(x_1)

e

.

Logo, $x_1\neq x_2$ em

implica que $g(f(x_1))\neq g(f(x_2))$ em

, ou seja,

é injetora. Note que

"cobre" todos os elementos de

, por ser sobrejetora ,portanto a implicação acima vale para qualquer elemento de

.

por **IlgssonBraga** » Sáb Jul 26, 2014 16:42

Muito obrigado !!!