[Raiz Cúbica] Diferença de Raízes Cúbicas

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[Raiz Cúbica] Diferença de Raízes Cúbicas

Mensagempor CJunior » Sex Fev 28, 2014 21:31

( IME 1991) Mostre que \sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}} é um número racional.
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Re: [Raiz Cúbica] Diferença de Raízes Cúbicas

Mensagempor young_jedi » Sáb Mar 01, 2014 13:40

x=\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}

x^3=\left(\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}\right)^3

x^3=3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}-3\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}^2.\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}+3\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}.\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}^2+3-\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}

x^3=6-3\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}^2.\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}+ 3\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}.\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}^2

x^3=6-3\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)^2.\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}+3\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right).\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)^2}

x^3=6-3\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right).\left(-3^2+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}^2\right)}+3\sqrt[3]{\left(-3^2+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}^2\right).\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}


x^3=6-3\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right).\left(-9+9+\frac{125}{27}\right)}+3\sqrt[3]{\left(-9+9+\frac{125}{27}\right).\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}

x^3=6-3\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right).\frac{125}{27}}+3\sqrt[3]{\frac{125}{27}.\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}

x^3=6-3.\frac{5}{3}\sqrt[3]{\left(3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}+3.\frac{5}{3}\sqrt[3]{\left(-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}

x^3=6-5\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}+5\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}

x^3=6-5\left(\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}\right)

x^3=6-5x

x^3+5x-6=0

é facil ver que a raiz real dessa equação é 1

portanto

x=\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}=1
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Re: [Raiz Cúbica] Diferença de Raízes Cúbicas

Mensagempor Man Utd » Ter Mar 04, 2014 15:27

CJunior escreveu:( IME 1991) Mostre que \sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}} é um número racional.



x=\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-\left(3-\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}\right)}


x=\sqrt[3]{3+\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[2]{9+\frac{125}{27}}}


Perceba que agora está no "jeito" da fórmula de cardano : x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}
que serve para resolver equações cúbicas reduzidas do tipo: x^{3}+px+q=0.Enfim comparando-a com a fórmula obtemos : q=-6 \;\; \wedge \;\; p=5,segue que a equação é :

x^3+5x-6=0


que já sabemos que a raiz real é \boxed{\boxed{1}}
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Re: [Raiz Cúbica] Diferença de Raízes Cúbicas

Mensagempor young_jedi » Ter Mar 04, 2014 22:01

fórmula de cardano,

muito bem observado Man Utd,
desse jeito fica mais simples valeu ai!!!!
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