por hatsurei » Ter Set 13, 2011 11:09
Olá,
Estou estudando sobre congruência e nao consigo entender o assunto e nem resolver a questao abaixo:
Questão 3:
a) Ache o resto na divisão de 2^45 por 7
b) Ache o resto da divisão de 11^10 por 100
c) Mostre que 2^20-1 é divisível por 41
d) Sabendo que 402= 654(mod m), determine os possíveis valores de m.
e) Mostre que 45^10 é divisível por 5
Por favor, se alguem puder resolver e deixar o calculo para estudo para mim eu agradeço e tambem se soube de algum material que me ajude a entender o assunto ficaria muito grato mesmo.
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hatsurei
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por ronaldoh » Qui Jan 05, 2012 17:26
Questão 3:
a) Ache o resto na divisão de 2^45 por 7
Ora, se 2^3

1 mod 7, então 2^3^15

1^15 mod 7.
Portanto o resto é 1^15, ou simplesmente 1.
b)Resolução:
1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) => 11^10 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1)
Basta provar que (119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) é divisível por 10.
=>11

1 (mod. 10) => 1

11

112

113

114

...

118

119

1 (mod. 10)
Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 º 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10) =>
119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1

10 (mod. 10) => 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1

0 (mod. 10)
portanto o resto é 0.
c) 27 = 128 = 3.41 + 5 => 27

5 (mod. 41) => 2^3.2^7

2^3.5 (mod. 41) => 210^

40 (mod. 41) =>
2^10

– 1 (mod. 41) => (210)^^2

(– 1)2 (mod. 41) => 220^

1 (mod. 41)

41 | 220 – 1
e) se 45

0 mod 5, então 45^10

5^10 mod 5. Mas evidentemente 5 | 5^10
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ronaldoh
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Se chegou até aqui, provavelmente tenha interesse pelos tópicos relacionados abaixo.
Aproveite a leitura. Bons estudos!
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Qua Jun 26, 2013 19:52
Aritmética
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {

} e B = {

}, então o número de elementos A

B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {

} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {

} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,

Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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