Area de Superfície de Revolução

por **ariclenesmelo** » Seg Out 22, 2012 22:00

Estou com a seguinte questão..
Inicialmente e esboçada em um plano cartesiano, a função com seus limites que dará o formato da peça, posteriormente, ocorre uma rotação em um de seus eixos, formando-a. Ocorreu uma rotação em x da função f(x)= Raiz X ou x^1/2, que foi limitada pelos pontos (1,1) e (4,2), pode-se concluir que a area da figura formada e: considere raiz 17 = 4,1 raiz 5 = 2,2 e PI= 3,14..

Alternativas .. A) 30 u.a B) 30.7 u.a C) 31,4 u.a D) 31,8 u.a E) 32,6 u.a

Tentei de tudo mais não consigo chegar a nenhum desses valores.. Gostaria da ajuda de vocês..

por **young_jedi** » Seg Out 22, 2012 23:25

A area de um superficie de revolução entorno de x de f(x) é dada por

$2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}.dx$

$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=\frac{1}{2}.\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

substituindo na integral

$2\pi\int_{1}^{4} \sqrt{x}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}.dx=$

$2\pi\int_{1}^{4} \sqrt{x}\sqrt{\frac{4x+1}{4x}}.dx=$

$2\pi\int_{1}^{4} \sqrt{x.\frac{4x+1}{4x}}.dx=$

$2\pi\int_{1}^{4} \frac{1}{2}.\sqrt{4x+1}.dx=$

$2\pi.\frac{1}{3.4}(4x+1)^{\frac{3}{2}}\Big|_{1}^{4}=$

$2\pi.\frac{1}{12}.\left(\sqrt{17}\right)^3-2\pi.\frac{1}{12}.\left(\sqrt{5}\right)^3$

substituindo os valaores aproximados cheguei em 30.49 o valor mais proximo é 30.7 acho que é essa a resposta

por **ariclenesmelo** » Ter Out 23, 2012 00:24

Amigo, muito Obrigado por sua ajuda, a resposta esta correta, só tenho uma duvida, como chegou a solução do penúltimo parágrafo 1/3x4 pois o resto eu consegui entender, acompanhei o passo a passo pelo wolframalpha e ele diferentemente chegou ao 1/8 x 2/3 que resumindo chegaria na mesma solução que você 1/12 . Poderia me ajudar a chegar nessa sua solução de 1/3x4.. desde já agradeço sua ajuda.

por **young_jedi** » Ter Out 23, 2012 11:37

Opa, amigo sem problemas

pelo que entendi é na parte da integração certo?

$\int_{1}^{4}\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}.dx$

primeiro eu coloquei o 1/2 pra fora da integral

$\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\sqrt{4x+1}.dx$

utilizei integração por substituição de variaveis

u=4x+1

substituindo

$\frac{1}{2}\int\sqrt{u}.\frac{du}{4}$

$\frac{1}{2}\frac{1}{4}\int\sqrt{u}.du$

intergrando

$\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{1}{\frac{3}{2}}.u^{\frac{3}{2}}$

voltando para variavel x e simplificando

$\frac{1}{3.4}(4x+1)^{\frac{3}{2}}$

acredito que seja isso