[Limite] Gostaria de saber se posso operar dessa maneira.

por **ravi** » Ter Out 09, 2012 10:50

Olá amigos, resolvi esse limite usando todas as propriedades da matemática corretamente, mas não sei se na teoria de limites existe algo que me impeça de faze-lo dessa maneira:
obs: Me parece que o editor de fórmulas está com problemas, ou eu não soube utiliza-lo corretamente.

$\lim_{+\propto}(x-\sqrt[]{x+3})$

$=\frac{(x-\sqrt[]{x+3})(x+\sqrt[]{x+3})}{x+\sqrt[]{x+3}}$ Devido a indeterminação que ocorre acima, multipliquei pelo conjugado.

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x}}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$ Daí então cheguei a um resultado e já simplifiquei dessa maneira.

$=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}+x}$ Daí eu resolvi fazer essa divisão de radicais porque em cima não consegui evitar a indeterminação. (Essa é minha dúvida não sei se posso fazer isso).

$=\sqrt[3]{x}+x = +\propto$ Chegando ao resultado da divisão de radicais e finalmente ao resultado final(+infinito).

Então essa é minha dúvida amigos, não sei se existe algo na teoria do assunto de limites que me impeça de fazer aquela divisão de radicais(na segunda sentença de baixo para cima), mas eu fiz a divisão utilizando as propriedades e evitei a indeterminação.

Muito obrigado, e para o pessoal do nordeste fiquem atentos que em novembro tem três congressos, um em Salvador, um em Natal e outro em João Pessoa, entre no site da SBM e confira.

Um abraço a todos.

por **LuizAquino** » Ter Out 09, 2012 11:40

ravi escreveu:Olá amigos, resolvi esse limite usando todas as propriedades da matemática corretamente, mas não sei se na teoria de limites existe algo que me impeça de faze-lo dessa maneira:
obs: Me parece que o editor de fórmulas está com problemas, ou eu não soube utiliza-lo corretamente.

$\lim_{+\propto}(x-\sqrt[]{x+3})$

$=\frac{(x-\sqrt[]{x+3})(x+\sqrt[]{x+3})}{x+\sqrt[]{x+3}}$ Devido a indeterminação que ocorre acima, multipliquei pelo conjugado.

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x}}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$ Daí então cheguei a um resultado e já simplifiquei dessa maneira.

$=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}+x}$ Daí eu resolvi fazer essa divisão de radicais porque em cima não consegui evitar a indeterminação. (Essa é minha dúvida não sei se posso fazer isso).

$=\sqrt[3]{x}+x = +\propto$ Chegando ao resultado da divisão de radicais e finalmente ao resultado final(+infinito).

Então essa é minha dúvida amigos, não sei se existe algo na teoria do assunto de limites que me impeça de fazer aquela divisão de radicais(na segunda sentença de baixo para cima), mas eu fiz a divisão utilizando as propriedades e evitei a indeterminação.

Na verdade, você não usou "todas as propriedades da matemática corretamente".

Em primeiro lugar, você deveria escrever as notações de forma adequada. Note que na sua resolução você não escreveu a notação $\lim_{x\to+\infty}$ em todos os passos. Você deve escrever essa notação em todos os passos, exceto no último, quando você efetivamente calcula o valor do limite. Desse modo, você deveria ter escrito:

$\lim_{x\to+\infty} x - \sqrt{x + 3}= \lim_{x\to+\infty} \frac{\left(x - \sqrt{x + 3}\right)\left(x + \sqrt{x + 3}\right)}{\left(x + \sqrt{x + 3}\right)}$

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)}{x + \sqrt{x\left(1 + \frac{3}{x}\right)}}$

Aqui note também que você escreveu -3/x no lugar de -3/(x²).

E em segundo lugar, depois desse passo você efetuou uma "divisão de radicais" que não existe.

O correto na verdade seria fazer:

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)}{x\left(1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}\right)}$

$= \lim_{x\to+\infty} \frac{x\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)}{1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}}$

$= \frac{(+\infty)\left(1 - 0 - 0\right)}{1 + \sqrt{0 + 0}} = +\infty$

por **ravi** » Ter Out 09, 2012 12:31

Obrigado amigo, porém não entendi como você chegou a:

$x(1+\sqrt[]{\frac{1}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}})$

e também não entendi porque a divisão que eu fiz não existe, se:

$\frac{{x}^{2}}{\sqrt[]{x}}=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}}=\frac{\sqrt[]{{x}^{4}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{x}}=\sqrt[]{{x}^{3}}$ Tem algum erro nesta sentença?

Muito obrigado!

por **LuizAquino** » Ter Out 09, 2012 14:14

ravi escreveu:Obrigado amigo, porém não entendi como você chegou a:

$x(1+\sqrt[]{\frac{1}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}})$

Note que:

$x + \sqrt{x\left(1 + \frac{3}{x}\right)} = x\left[1 + \frac{1}{x}\sqrt{x\left(1 + \frac{3}{x}\right)}\right]$

$= x\left[1 + \sqrt{\frac{x}{x^2}\left(1 + \frac{3}{x}\right)}\right]$

$= x\left(1 + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}\right)$

ravi escreveu:e também não entendi porque a divisão que eu fiz não existe, se:

$\frac{{x}^{2}}{\sqrt[]{x}}=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}}=\frac{\sqrt[]{{x}^{4}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{x}}=\sqrt[]{{x}^{3}}$ Tem algum erro nesta sentença?

Nessa sentença não há. Mas vejamos o que você fez:

ravi escreveu: $=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}+x}$ Daí eu resolvi fazer essa divisão de radicais porque em cima não consegui evitar a indeterminação. (Essa é minha dúvida não sei se posso fazer isso).

$=\sqrt[3]{x}+x = +\propto$ Chegando ao resultado da divisão de radicais e finalmente ao resultado final(+infinito).

Com isso você está dizendo que $\frac{\sqrt[1]{x^2}}{\sqrt{x}+x}$ seria o mesmo que $\frac{\sqrt[1]{x^2}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt[1]{x^2}}{x}$ , mas isso está errado. E mesmo ao cometer esse erro, você ainda cometeu outro: escreveu $\sqrt[3]{x}$ ao invés de $\sqrt{x^3}$ .

por **ravi** » Qui Out 11, 2012 13:28

Obrigado, entendi.

Mas, se ao invés de:

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}+x}=\sqrt[]{{x}^{3}}+x = +\propto$

Eu fizesse:

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{x(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{x}{\sqrt[]{x}}$

$=\sqrt[]{x}=+\propto$

por **LuizAquino** » Qui Out 11, 2012 23:37

ravi escreveu:Obrigado, entendi.

Mas, se ao invés de:

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{\sqrt[1]{{x}^{2}}}{\sqrt[]{x}+x}=\sqrt[]{{x}^{3}}+x = +\propto$

Eu fizesse:

$=\frac{{x}^{2}(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{x+\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{x(1-\frac{1}{x}-\frac{3}{x})}{\sqrt[]{x(1+\frac{3}{x})}}$

$=\frac{x}{\sqrt[]{x}}$

$=\sqrt[]{x}=+\propto$

Continuaria errado.

Além de cometer os mesmos erros anteriores (não escrever a notação de limites e colocar -3/x onde deveria ser -3/(x²)), você ainda cometeu o erro de efetuar uma simplificação que não existe. Por exemplo, note que a expressão numérica $\frac{5^2\cdot 3}{5 + 2}$ não é igual a $\frac{5\cdot 3}{2}$ .