Racionalização de denominadores

por **Tibinhas** » Seg Jun 25, 2012 19:24

$\frac{2+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}}+\frac{2-\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}-\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}}$

O exercício pede para simplificar essa expressão, na resposta esta $\sqrt[]{2}$
tentei raciona-la fazendo a diferença de dois quadrados, mas cai em uma conta muito dificil

por **emsbp** » Sáb Jul 07, 2012 18:13

Boa tarde.
Também tentei racionalizar e não cheguei à solução indicada.
Explico o meu raciocínio:
1º racionalizei as duas parcelas, utilizando o conjugado do denominador.
2º simplifiquei ao máximo o numerador, ficando com denominador igual a 3.
Seguiu o mesmo processo?

Obrigado

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jul 07, 2012 22:29

Boa Noite.
Há um tempo atrás tentei resolver esta mesma questão e consegui com o auxílio do Luiz Aquino.
Vou postar a resolução que recebi (com algumas alterações).

$\displaystyle\frac{[(2+\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3})]+[(2-\sqrt3)(\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3})]}{(\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3})(\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3})}$
Denominador:
$2-\sqrt2\sqrt{2-\sqrt3}+\sqrt2.\sqrt{2+\sqrt3}-1$

$1-\sqrt2\sqrt{2-\sqrt3}+\sqrt2.\sqrt{2+\sqrt3}$

$1-\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$

Racionalizando:
$\left[{1-\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\right]$ $\left[{1+\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\right]=$

$= 1^2-\left[\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\right]^2$

$=1 - 2\left(2-\sqrt{3} - 2\cdot 1 + 2+\sqrt{3}\right)$

=-3

Numerador: $2\sqrt2-2\sqrt{2-\sqrt3}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{(2-\sqrt3)}$ $+2\sqrt2+2\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt6-\sqrt{3}\cdot\sqrt{(2+\sqrt3)}$

$4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt3}$ $+2\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt3$

"Racionalizando":
$\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right.$ $\left.+\,2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$ $\left[{1+\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\right]$
Parte 1)
$\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right.$ $\left.+\,2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot 1 =$

$\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right.$ $\left.+\,2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$

Parte 2)

$\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right.$ $\left.+\,2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot$ $\sqrt{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)=$

$8\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$ $-2\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}-1\right)$ $-\sqrt{6}\left(2-\sqrt{3}-1\right)$ $+2\sqrt{2}\left(1-2-\sqrt{3}\right)$ $-\sqrt{6}\left(1-2-\sqrt{3}\right)=$

$8\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right) + 2\sqrt{2}$

Somando a Parte 1) com a Parte 2), temos que:

$6\sqrt{2} + 6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}$ $-\,6\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Dessa forma, por enquanto temos que a expressão original é equivalente a:

$\frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}} -6\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{-3}$

Essa expressão é igual a um número. Vamos chamar esse número de c.

$c = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}} -6\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{-3}$

Vamos arrumar essa equação de outra forma.

$-3c - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}$ $\,-6\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos que:

$\left(-3c - 6\sqrt{2}\right)^2 = \left(6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right.$ $\left.\,-6\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2$

$9c^2 + 36\sqrt{2}c + 72 = \left(6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2$

$-2\left(6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$ $\left(\,6\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)$

$\left(\,6\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2$

Vamos resolver separadamente cada parte do segundo membro.

Parte 1)

$\left(6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2$ $= 36\left(2-\sqrt{3}\right) - 12\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right) + 3\left(2-\sqrt{3}\right)$

$= 114 - 63\sqrt{3}$

Parte 2)

$-2\left(6\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$ $\left(\,6\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)=$

$= -2\left(36 + 6\sqrt{3}\right -6\sqrt{3} - 3) = -66$

Parte 3)

$\left(\,6\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2$ $= 36\left(2+\sqrt{3}\right) + 12\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}\right) + 3\left(2+\sqrt{3}\right)$

$= 114 + 63\sqrt{3}$

Substituindo essas três partes na equação anterior, temos que:

$9c^2 + 36\sqrt{2}c + 72 = 114 - 63\sqrt{3} - 66 + 114 + 63\sqrt{3}$

$9c^2 + 36\sqrt{2}c -90 = 0$

$c^2 + 4\sqrt{2}c - 10 = 0$

Resolvendo essa equação, obtemos $c_1 = -5\sqrt{2}$ e $c_2 = \sqrt{2}$ .

Analisando a expressão numérica original, percebemos que ela deve ser positiva. Portanto, a única possibilidade válida é $c = \sqrt{2}$ .

por **Arkanus Darondra** » Sáb Jul 07, 2012 22:29

Tempo depois, consegui resolver de uma maneira menos trabalhosa utilizando uma fórmula de transformação de radicais duplos:
$\sqrt{a\pm\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Assim, no denominador teríamos:
$\sqrt{2\pm\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Da expressão original:
$\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{2-\sqrt3}{\sqrt2+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{4+2\sqrt3}{3\sqrt2+\sqrt6} + \frac{4-2\sqrt3}{3\sqrt2-\sqrt6}$

$\frac{12\sqrt2 - 4\sqrt6 + 6\sqrt6 - 2\sqrt18}{12} + \frac{12\sqrt2 + 4\sqrt6 - 6\sqrt6 - 2\sqrt18}{12}$

$\frac{24\sqrt2 - 4\sqrt{3^2.2}}{12}$

$\frac{12\sqrt12}{12}$

$\sqrt2$
:y:

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