Duvida Urgente!

por **RJCT** » Qua Jun 13, 2012 18:50

Boa noite preciso de ajuda nesta demostração, nao sei se devo resolver as derivadas parciais cruzadas ou se existe uma forma mais simples...

Dado $f(x,y) = xy(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})$ se $(x,y)\neq (0,0)$ e f(0,0)= 0

, mostre que $\frac{d^2f}{dxdy}(0,0)\neq \frac{d^2f}{dydx}(0,0)$

Gostaria que alguém me desse uma ideia de como pegar nisto..

por **LuizAquino** » Sex Jun 15, 2012 16:52

RJCT escreveu:Boa noite preciso de ajuda nesta demostração, nao sei se devo resolver as derivadas parciais cruzadas ou se existe uma forma mais simples...

Dado $f(x,y) = xy(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})$ se $(x,y)\neq (0,0)$ e , mostre que $\frac{d^2f}{dxdy}(0,0)\neq \frac{d^2f}{dydx}(0,0)$

Gostaria que alguém me desse uma ideia de como pegar nisto..

Eu vou mostrar como calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,\,0)$ e você tenta calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,\,0)$ .

Aplicando a definição de derivada, temos que:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,\,0) = f_{xy}(0,\,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f_x(0,\,0+h)-f_x(0,\,0)}{h}$

Precisamos então calcular $f_x(0,\,h)$ (com $h\neq 0$ ) e $f_x(0,\,0)$ .

Calculando $f_x(0,\,h)$ , temos que:

$f_x(0,\,h) = \lim_{u\to 0} \frac{f(0+u,\,h) - f(0,\,h)}{u}$

$f_x(0,\,h) = \lim_{u\to 0} \frac{uh\frac{u^2 - h^2}{u^2 + h^2} - 0}{u}$

$f_x(0,\,h) = \lim_{u\to 0} h\frac{u^2 - h^2}{u^2 + h^2}$

$f_x(0,\,h) = -h$

Calculando $f_x(0,\,0)$ , temos que:

$f_x(0,\,0) = \lim_{u\to 0} \frac{f(0+u,\,0) - f(0,\,0)}{u}$

$f_x(0,\,0) = \lim_{u\to 0} \frac{0 - 0}{u}$

$f_x(0,\,0) = 0$

Voltando para o cálculo de $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ , temos que:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,\,0) = \lim_{h\to 0} \frac{-h - 0}{h}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,\,0) = -1$

Agora use a definição de derivada para calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,\,0)$ . Você irá encontrar que $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,\,0) = 1$ . Portanto, poderá concluir que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,\,0) \neq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,\,0)$ .

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