Como resolver esse limite?

por **duborgis** » Sex Abr 06, 2012 13:29

Já quebrei a cabeça tentando resolver esse limite, na verdade ele vem de um exercício de continuidade. Tenho que achar a resposta dele para achar uma constante da função que dá o limite pela direita.
$\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x+\sqrt[2]{x}-2}{x-1}$
Já tentei resolver pela multiplicação do conjugado: $\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x+\sqrt[2]{x}-2}{x-1} . \frac{x-\left(\sqrt[2]{x}-2\right)}{x-\left(\sqrt[2]{x}-2\right)}$ , mas acabo embolando durante a resolução e não chego a lugar nenhum.
Comecei a pouco tempo o curso de Cálculo I e não adquiri ainda aquela sagacidade para resolver os exercícios.

por **nietzsche** » Sex Abr 06, 2012 17:36

Você pode usar o teorema de L'Hospital.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l%27H%C3%B4pital

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 18:58

duborgis escreveu:Já quebrei a cabeça tentando resolver esse limite, na verdade ele vem de um exercício de continuidade. Tenho que achar a resposta dele para achar uma constante da função que dá o limite pela direita.
$\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x+\sqrt[2]{x}-2}{x-1}$
Já tentei resolver pela multiplicação do conjugado: $\lim_{x\rightarrow1-}\frac{x+\sqrt[2]{x}-2}{x-1} . \frac{x-\left(\sqrt[2]{x}-2\right)}{x-\left(\sqrt[2]{x}-2\right)}$ , mas acabo embolando durante a resolução e não chego a lugar nenhum.
Comecei a pouco tempo o curso de Cálculo I e não adquiri ainda aquela sagacidade para resolver os exercícios.

Vide esse tópico:

Continuidade Limite
viewtopic.php?f=120&t=7587

Note que vale a pena fazer uma pesquisa no fórum antes de criar um novo tópico.

nietzsche escreveu:Você pode usar o teorema de L'Hospital.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l%27H%C3%B4pital

Não é necessário apelar para a Regra de L'Hospital.

por **nietzsche** » Sáb Abr 07, 2012 15:17

Como esse limite apareceu de outro exercício eu sugeri que "apelasse" pra L'Hospital. Assim como nas vezes que resolvemos um exercício de derivada, às vezes não calculamos pela definição.

Luiz Aquino, às vezes você parece um pouco autoritário. Sei ajuda muita gente - inclusive eu em várias ocasiões - mas não precisa ficar corrigindo a pegunta dos outros como se a sua fosse a mais correta. Proponha sua resposta e deixe que o dono da dúvida aprender com as várias possibilidades corretas de se resolver o problema.

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 15:52

nietzsche escreveu:Como esse limite apareceu de outro exercício eu sugeri que "apelasse" pra L'Hospital. Assim como nas vezes que resolvemos um exercício de derivada, às vezes não calculamos pela definição.

Prezado nietzsche,

Note o que duborgis disse no final de sua mensagem:

duborgis escreveu:Comecei a pouco tempo o curso de Cálculo I (...)

A julgar por essa frase e pelo formato do exercício, eu suponho que ele ainda não iniciou o estudo de derivadas. Nesse contexto, ele não pode aplicar a Regra de L'Hospital ainda. Por isso indiquei aquele outro tópico.

nietzsche escreveu:Luiz Aquino, às vezes você parece um pouco autoritário. Sei ajuda muita gente - inclusive eu em várias ocasiões - mas não precisa ficar corrigindo a pegunta dos outros como se a sua fosse a mais correta.

Note que em momento algum eu disse (ou sugeri) que a minha indicação seria a "mais correta".

nietzsche escreveu:Proponha sua resposta e deixe que o dono da dúvida aprender com as várias possibilidades corretas de se resolver o problema.

Foi exatamente isso que fiz: eu propus uma resolução.

por **nietzsche** » Sáb Abr 07, 2012 16:47

Devo ter entendido errado sua sugestão escrita como uma afirmação: "Não é necessário apelar para a Regra de L'Hospital."

por **LuizAquino** » Sáb Abr 07, 2012 17:02

nietzsche escreveu:Devo ter entendido errado sua sugestão escrita como uma afirmação: "Não é necessário apelar para a Regra de L'Hospital."

De fato, você entendeu errado. No contexto desse tópico, essa afirmação significa apenas que o exercício pode ser resolvido sem usar a Regra de L'Hospital. Além disso, essa afirmação não sugere que usar a Regra de L'Hospital seria "menos correto" do que usar simplificações algébricas.

por **duborgis** » Sáb Abr 07, 2012 20:42

Agradeço vocês pela atenção.

LuizAquino escreveu:Vide esse tópico:

Continuidade Limite
viewtopic.php?f=120&t=7587

Note que vale a pena fazer uma pesquisa no fórum antes de criar um novo tópico.

Na verdade eu pesquisei, porém não o fiz suficientemente. Como acabei de me cadastrar no fórum, tenho que aprender a utilizar-lo de maneira mais eficiente.

nietzsche escreveu:Você pode usar o teorema de L'Hospital.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l%27H%C3%B4pital

Para utilizar o teorema de L'Hospital é preciso conhecer derivadas, o exercício foi proposto antes de ter visto derivadas, portanto era preciso aplicar outro método para resolver a questão. Mesmo assim agradeço a atenção.

por **Guill** » Dom Abr 08, 2012 12:38

Simples:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x + \sqrt[]{x}-2}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x + \sqrt[]{x}-2}{x-1}.\frac{x-(\sqrt[]{x}-2)}{x - (\sqrt[]{x}-2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 - x^2 + 4.\sqrt[]{x}-4}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{-4.(1 - \sqrt[]{x})}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{-4.(1 - \sqrt[]{x})}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2)}.\frac{1+\sqrt[]{x}}{1+\sqrt[]{x}}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{4.(x - 1)}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2).(\sqrt[]{x}+1)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{4}{(x-\sqrt[]{x}+2).(\sqrt[]{x}+1)}$

Substituindo os valores:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{4}{(1-\sqrt[]{1}+2).(\sqrt[]{1}+1)}=\frac{4}{4} = 1$

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 08, 2012 15:19

Guill escreveu:Simples:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x + \sqrt[]{x}-2}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x + \sqrt[]{x}-2}{x-1}.\frac{x-(\sqrt[]{x}-2)}{x - (\sqrt[]{x}-2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 - x^2 + 4.\sqrt[]{x}-4}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2)}$

Não seria: $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 - x + 4.\sqrt[]{x}-4}{(x-1).(x-\sqrt[]{x}+2)}$ ?

por **nietzsche** » Dom Abr 08, 2012 15:29

Guill, você errou nas contas numa passagem. Compare com a sua resolução:
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x + \sqrt[]{x}-2}{x-1}.\frac{x-(\sqrt[]{x}-2)}{x - (\sqrt[]{x}-2)} \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 - (\sqrt[]{x}-2)^2}{x-1}.\frac{1}{x - (\sqrt[]{x}-2)}$

O x² não se cancela.

por **Guill** » Dom Abr 08, 2012 15:37

Tentarei de outra maneira:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+\sqrt[]{x}-2}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)+(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-1)+(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}{(\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-1)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)}{(\sqrt[]{x}+1)}=\frac{3}{2}$

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 08, 2012 16:04

Guill escreveu:Tentarei de outra maneira:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+\sqrt[]{x}-2}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)+(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-1)+(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}{x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}{(\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-1)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[]{x}+2)}{(\sqrt[]{x}+1)}=\frac{3}{2}$

Interessante! Eu só tentava multiplicando pelo conjugado ou fazendo alguma substituição...