Calcular unidades de área?

por **natanlp** » Qua Fev 01, 2012 00:45

Olá Pessoal, Gostaria da ajuda de vocês, pois durante todo meu ensino médio nunca ouvi falar de Geometria Analitica, Fiz uma prova recentemente, e caiu a questão abaixo, como faço para resolver a mesma? pois não tenho a menor idéia de como fazer, e gostaria tbm que se pudessem, me endicassem algum material para estudo, Desde já agradeço!!!

Um agricultor recebeu como herança um sítio em formato retangular com
vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a
unidade em cada um dos eixos representa a unidade de comprimento sobre o
terreno, tem-se A(4,0), B(6,2), C(2,4) e D(0,2). Quantas unidades de
área possui o sítio que o agricultor herdou?

a) 12
b) 13
c) 14
d) 24

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 10:48

Olá Natan!
Creio que nenhuma das alternativas seja a resposta, ou, então, houve algum erro na digitação da questão.

Para resolver esta questão basta que você encontre a medida dos dois lado do retângulo, e multiplique-as.
Isso é possível encontrando a distancia entre dois pontos: $d=\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
$\overline{AB} = \sqrt{(2)^2+(2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\overline{BC} = \sqrt{(4)^2+(2)^2} = \sqrt{20} =2\sqrt{5}$
$\overline{CD}$ e $\overline{AD}$ terão as mesmas medidas de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ , respectivamente. (Faça o desenho para comprovar).

Desse modo a área do terreno será $2\sqrt{2}.2\sqrt{5} = 4\sqrt{10}$ :y:

por **natanlp** » Qua Fev 01, 2012 11:20

Olá Arkanus Darondra, obrigado pela atenção!

O Gabarito da prova em questão informa que a resposta é a letra (a) 12...

fecha 2 triangulos imagina os vertices A e B com C e D paralelos
fecha o triangulo ABC e CDA
faz o det dos vertices divide por 2 e soma as areas
4 6 2 4
0 2 4 0 = det(ABC)
2 0 4 2
4 2 0 4 = det(CDA)
|det(abc)|/2 + |det(cda)|/2 = Area total
2 0 4 2
4 2 0 4
2.2 + 0.0 +4.4 -2.0 -4.2 -0.4 = 12

Eu já recebi a seguinte sugestão para a solução do mesmo...
mas quem me informou esta sugestão se limitou a informar que
"aquela matriz ali eu aprendi a fazer com meu professor , nao tenho como provar , mas da certo"

Então se alguem mais, tiver alguma explicação para a sugestão apresentada acima, Ficarei grato!

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 12:23

Fiz de outro modo, deu certo.
Há uma fórmula para calcular a área de uma triângulo por meio das coordenadas:
$A = \frac12 . \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a &1 \\ x_b & y_b & 1 \end{matrix} \right|$ $= \frac 12.|D|$
Imagem

A área do triângulo ACD é a mesma do triângulo ABC. Vamos achar a do ACD e multiplicá-la por 2:
$A = \frac12.Det\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\Rightarrow A = \frac12.12 \Rightarrow A=6$
6.2 = 12 cm^2

Mas fiquei na dúvida: o que estava de errado na minha outra resolução?
Se alguém souber... :y:

por **natanlp** » Qua Fev 01, 2012 12:29

Obrigado Arkanus Darondra,

Essa sua resolução eu consegui entender..

Valeu!!

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 14:40

Natan, como você pôde perceber no outro fórum, essa minha resolução só é válida se o enunciado dissesse que o sítio é quadrangular, ao invés de retangular.
Isso porque os pontos, de fato, não formam um retângulo, e sim um paralelogramo.
Portanto, a questão está incorreta, e minha resolução e o gabarito são válidos apenas se considerarmos o detalhe anterior. :y:

por **LuizAquino** » Qua Fev 01, 2012 14:59

natanlp escreveu:(...) gostaria tbm que se pudessem, me endicassem algum material para estudo (...)

Eu recomendo que você assista as vídeo-aulas do Nerckie:

http://www.youtube.com/nerckie

Arkanus Darondra escreveu:Há uma fórmula para calcular a área de uma triângulo por meio das coordenadas:
$A = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a &1 \\ x_b & y_b & 1 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2}\cdot |D|$

Cuidado para não confundir as barras verticais que indicam determinante, com as barras verticais que indicam módulo.

Para não haver essa confusão, primeiro escreva a matriz:

$D = \begin{bmatrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a &1 \\ x_b & y_b & 1 \end{bmatrix}$

Em seguida, escreva a fórmula:

$A = \frac{1}{2}|\det D |$

por **natanlp** » Qua Fev 01, 2012 15:08

Olá Arkanus Darondra

A área em apreço não é totalmente retângular é losangonal.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Losango
A = D1 * D2 / 2
Assim é necessario calcular as distâncias entre os pontos C e A ; e B e D, multiplicá-las e dividir por dois

Obrigado pela ajuda...

por **LuizAquino** » Qua Fev 01, 2012 15:12

natanlp escreveu:A área em apreço não é totalmente retângular é losangonal.

Você está enganado. Não é um losango. Note que um losango possui os quatro lados com o mesmo comprimento. Esse não é o caso da área em questão.

por **Arkanus Darondra** » Qua Fev 01, 2012 15:34

LuizAquino escreveu:Cuidado para não confundir as barras verticais que indicam determinante, com as barras verticais que indicam módulo.

Para não haver essa confusão, primeiro escreva a matriz:

$D = \begin{bmatrix} x & y & 1 \\ x_a & y_a &1 \\ x_b & y_b & 1 \end{bmatrix}$

Em seguida, escreva a fórmula:

$A = \frac{1}{2}|\det D |$

Tem razão. Obrigado.