[geometria espacial - esferas ] Me ajudem nessa questão ?

por **anne leticia** » Sex Nov 18, 2011 20:48

Bom gente a questão que estou com dúvidas é essa que esta ai embaixo,ja tentei resolvê-la de diversas formas,mas nada deu certo .
Na alternativa 'a' eu fiz este calculo : a²=4xPIxr²
a²=4xPIX(12)²
a²=4PIx(144)
a²= 576
a²= raiz quadrada de 576 = 24
Já a alternativa 'b' ... = c=r²
c=676 ²
c= raiz quadrada de 676 que dá 26 !
Embora eu tenha certeza que esses cálculos que fiz acima não estao de acordo com o que a questao pede sendo assim não estão corretos .

Uma esfera cuja superficie tem area igual a 676 pi cm² é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do seu centro, determinando um circulo. Nessas condições, determine:

a] A area desse circulo
b] O comprimento da circunferencia maxima dessa esfera
c] O volume do cone reto cujo vertice é o centro da esfera e a base é o circulo determinado pela intersecçao do plano com a esfera.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 18, 2011 22:38

A área da esfera é dada por $A_e = 4 \pi R^2 = 676 \pi \implies R^2 = 169 \implies R = 13$ cm. O plano é paralelo à circunferência equatorial, e portanto podemos formar um triângulo retângulo traçando o raio até o círculo, onde teremos a hipotenusa sendo o raio da esfera, a altura sendo a distância do centro do círculo até o centro da esfera e o outro cateto o raio do círculo. Aplicando pitágoras, encontramos r=5

cm. Daí, a área do círculo é $A_c = \pi r^2 = 25 \pi$ cm^2

.

O comprimento da circunferência máxima é simplesmente $C = 2 \pi R = 26 \pi$ cm.

O volume do cone será $V = \frac{A_b \cdot h}{3}$ onde a área da base é a área do círculo e a altura a distância entre os centros, logo $V = \frac{25 \pi \cdot 12}{3} = 100 \pi$ cm^3