Considere as equações:
I. log(x + y) = log x + log y
II. x + y = xy
a) As equações I e II têm as mesmas soluções? Justifique.
Não necessariamente.
Caso x > 0 e y > 0 forem soluções da equação x + y = xy, então podemos aplicar o logaritmo em ambos os membros dessa equação, obtendo log(x + y) = log(xy) = log x + log y. Portanto, x e y também são soluções dessa última equação.
Por outro lado, caso x < 0 e y > 0 (ou ainda x > 0 e y < 0) forem soluções da equação x + y = xy, então não podemos aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação, pois apareceria o logaritmo de um número negativo.
b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções de I.
Você começou a solução, porém não soube terminar.
Utilizando as propriedades de logaritmos, desenvolvemos a equação I até obter xy = x + y.
Isolando y nessa equação, ficamos com
.
Note que para x e y serem positivos, basta escolher qualquer número x tal que x > 1. Portanto, o gráfico da função y = f(x) começa a partir de x > 1. Além disso, perceba duas coisas:
(i) se escolhemos x próximo de 1 (por exemplo, 1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, etc) o valor de y é bem grande.
(ii) o valor de y é sempre maior do que 1, pois para calcular y nós estamos dividindo o número x pelo número x - 1, com isso temos uma fração cujo o numerador é sempre maior do que o denominador.
Agora, considerando essas informações e escolhendo alguns valores para x (por exemplo, 1,1, 1,2, 2, 3 e 4) você traçaria o esboço do gráfico abaixo.
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Vale lembrar que as linhas pontilhadas em vermelho são apenas para você se guiar.
Muito obrigado a todos que responderam, viu?