Integral indefinida

por **felipealves** » Ter Jun 21, 2011 11:48

Olá a todos, estou com uma grande dúvida, na integração de questões com sen(2x),cos(3X),entre outras, a duvida é que quando faço a integral, no resultado há uma fração mas não consigo encontrar de onde vem essa fração, por fovor me tirem essa dúvida.

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 21, 2011 13:12

Veja:

$\int_{}^{}sen(2x)dx$

Quem você precisa derivar para obter sen

? Seria

, não é verdade? (f(x)= cosx , f'(x)=-senx)

Porém, se você derivar cos

, terá como resultado -sen

, Logo, você precisaria derivar - cos

para obter sen

.

Sabendo disso, tente derivar f(x)=-cos(2x)

.
Aplicando a regra da cadeia temos:

f'(x)=sen(2x).2

, correto?

Porém, o que você quer é sen(2x)

(veja na sua integral). Então, teremos que pensar numa maneira de tirar esse

daí. Como? Dividindo por 2.

Veja:
$f'(x)=\frac{sen(2x).2}{2}$ = f'(x)=sen(2x)

Ou:

$f'(x)=\frac{sen(2x).2}{2} = f'(x) = \frac{1}{2}.sen(2x).2 = f'(x)=sen(2x)$

- Conserve a primeira e multiplique pelo inverso da segunda.

Logo,

Sua integral é: $-cos(2x).\frac{1}{2}+c$

Ps.: Escrevi bem depressa. mas creio que esteja tudo certo. Caso contrário, peço que informe o erro.

por **LuizAquino** » Ter Jun 21, 2011 16:30

Deseja-se resolver integrais do tipo $\int \textrm{sen}\,(kx)\,dx$ , com k uma constante não nula.

Fazendo a substituição u = kx

, temos que $du = k\,dx$ (ou seja, $\frac{1}{k}\,du = dx$ ).

Desse modo, a integral será equivalente a $\int \frac{1}{k}\,\textrm{sen}\,u \,du$ . Resolvendo essa integral, obtemos $-\frac{1}{k}\cos\,u + c$ , com c uma constante real.

Portanto, temos que $\int \textrm{sen}\,(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos (kx) + c$ .