Prisma Hexagonal

por **Laryssa Rafaella** » Sáb Mai 28, 2011 22:04

01- Calcule o volume de um prisma regular hexagonal de altura igual a 8 cm, sabendo que a área total de sua superfície é o triplo da área lateral. Gab.: 4096 $\sqrt[]{3}$ cm³.
Resolução:
Por se tratar de um prisma hexagonal sua base é composta de 6 triângulos equiláteros. Dessa forma, a área lateral é 6 vezes a área de um retângulo (base x altura) resultando em 48b (6.b.8) e a área da base é $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ .
Assim, é substituído tanto a área da base quanto a área lateral na fórmula da área total. Lembrando que a área total é igual 3 vezes a área lateral.
Atotal = Alateral + 2.Abase
3.48b = 48b + 2. $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$
144b = 48b + $\frac{6{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ -> simplificando fica $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{1}$
144b - 48b = $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{1}$
b = $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{96}$
b = $\frac{{l}^{2}\sqrt[]{3}}{32}$ cm

Após encontrar o valor de b, substitui-se o valor de "b" na área lateral:
Alateral = 48b
Alateral = $48.\frac{{l}^{2}\sqrt[]{3}}{32}$
Alateral = $\frac{48{l}^{2}\sqrt[]{3}}{32}$ -> simplificando fica igual à...
Alateral = $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ cm²
Isso mostra que a área lateral desse hexágono é igual a área da base do mesmo.

Para encontrar o valor de "l" iguala-se a área da base, à área lateral.
$\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ = $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ -> simplifica 2 com 2 e 3 com 3.
l² = $\sqrt[]{3}$
l = $\sqrt[]{\sqrt[]{3}}$ -> simplifica os radicais.
l = 3 cm

Agora substitui o valor de "l" na fórmula do volume:
V = Abase.h
V = $\frac{3{l}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ .8
V = $\frac{3.{3}^{2}\sqrt[]{3}}{2}$ .8
V = $\frac{3.9\sqrt[]{3}}{2}$ .8
V = $\frac{27\sqrt[]{3}}{2}$ .8
V = $\frac{216\sqrt[]{3}}{2}$
V = 108 $\sqrt[]{3}$ cm³

Já refiz várias vezes e sempre encontro esse valor. Não sei onde errei ou se o gabarito está errado. Preciso de ajuda com esse exercício, por favor!
Obrigada e parabéns pelo forúm!

por **carlosalesouza** » Dom Mai 29, 2011 03:47

Vamos do zero...

A área lateral está correta... 48b...

Vamos verificar a área da base hexagonal...

A área de um hexágono é a metade do produto do apótema pelo perímetro... sendo o apótema a altura de qualquer dos triângulos equiláteros que o formam...

assim, sendo os triângulos equiláteros, o apótema os divide em dois triângulos retângulos, com hipotenusa igual ao dobro da base... então, o apótema é dado por:

$\\ b^2=(\frac{b}{2})^2 + ap^2\\ ap^2=b^2-\frac{b^2}{4}\\ ap^2=\frac{4b^2-b^2}{4}\\ ap^2=\frac{3b^2}{4}\\ ap=\sqrt{\frac{3b^2}{4}}=\frac{b\sqrt 3}{2}$

Então, sendo o perímetro igual a 6b, a área é:

$\\ \frac{P\times ap}{2}\\ \frac{\not {6}b\cdot \frac{b\sqrt 3}{\not{2}}}{2}\\ \frac{3b^2\sqrt3}{2}$

Agora, veja bem, a área total da superfície é a soma da área lateral com as duas bases hexagonais... como a área total é o triplo da área lateral e os dois hexágonos são iguais, logo, os hexágonos têm a mesma área que os seis retângulos da lateral....

Então:

$\\ \frac{3b^2\sqrt 3}{2}=48b\\ 3b^2\sqrt 3=96b\\ b^2\sqrt 3 = 32b\\ b^2\sqrt 3 - 32b = 0\\ b(b\sqrt 3 - 32) = 0$

Quer dizer que b=0 (o que é falso) ou:

$\\ b\sqrt 3 =32\\ b=\frac{32}{\sqrt 3}=\frac{32\sqrt 3}{3}$

Sendo este o valor de b e sendo a área lateral igual a área da base, então a área da base, que é 48b será:

$\\ A=\not{48} \cdot \frac{32\sqrt 3}{\not{3}}\\ A = 16\cdot 32 \sqrt 3 = 512\sqrt 3$

Agora, para encontrar o volume, basta multiplicar a área da base pela altura:

$\\ V = 8\cdot 512\sqrt 3 = 4096\sqrt 3$

Ok?

Um abraço

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