Subconjuntos de S

[felicia13]

Provar que os subconjuntos de R4 são subespaços vectoriais de R4:

a) S = { (x1, x2, x3, x4): x1 = - 2x4, x3 - 2x2 = 0 }

b) T = L { (1,1,0,0), (1,-1,0,2), (0,2,0,-2) }


Eu sei as regras para que os subconjuntos sejam subespaços, mas nao sei como aplicar ao exercicio em si.
Agradecia ajuda.

[LuizAquino]

a) S = { (x1, x2, x3, x4): x1 = - 2x4, x3 - 2x2 = 0 }

(i) Provar que 0 está em S, onde "0" representa o elemento neutro do espaço vetorial em questão, que nesse caso é .

Sabemos que o 0 do espaço vetorial em questão é (0, 0, 0, 0). Ou seja, .

Pergunta: podemos afirmar que e ?

(ii) Provar que se u e v estão em S, então u+v também está em S.
Seja e . Como por hipótese eles estão em S, então sabemos que:
(1) e .
(2) e .

Por outro lado, sabemos que .

Pergunta: considerando as afirmações (1) e (2), podemos afirmar que e ?

(iii) Provar que se u está em S e k está em R, então ku também está em S.
Seja . Como por hipótese ele está em S, então sabemos que:
(1) e .

Por outro lado, sabemos que .

Pergunta: considerando a afirmação (1), podemos afirmar que e ?

Se a resposta para as três perguntas for sim, então S é subespaço de .


b) T = L { (1,1,0,0), (1,-1,0,2), (0,2,0,-2) }
Para resolver o exercício b) use um esquema parecido com o que foi usado para o exercício a).