Subconjuntos de S

por **felicia13** » Qua Abr 27, 2011 18:55

Provar que os subconjuntos de R4 são subespaços vectoriais de R4:

a) S = { (x1, x2, x3, x4): x1 = - 2x4, x3 - 2x2 = 0 }

b) T = L { (1,1,0,0), (1,-1,0,2), (0,2,0,-2) }

Eu sei as regras para que os subconjuntos sejam subespaços, mas nao sei como aplicar ao exercicio em si.
Agradecia ajuda.

por **LuizAquino** » Qua Abr 27, 2011 20:53

a) S = { (x1, x2, x3, x4): x1 = - 2x4, x3 - 2x2 = 0 }

(i) Provar que 0 está em S, onde "0" representa o elemento neutro do espaço vetorial em questão, que nesse caso é $\mathbb{R}^4$ .

Sabemos que o 0 do espaço vetorial em questão é (0, 0, 0, 0). Ou seja, x_1=x_2=x_3=x_4=0

.

Pergunta: podemos afirmar que x_1 = -2x_4

e

?

(ii) Provar que se u e v estão em S, então u+v também está em S.
Seja $u=(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4)$ e $v=(\overline{x}_1,\, \overline{x}_2,\, \overline{x}_3,\, \overline{x}_4)$ . Como por hipótese eles estão em S, então sabemos que:
(1) x_1 = -2x_4

e

.
(2) $\overline{x}_1 = -2\overline{x}_4$ e $\overline{x}_3- 2\overline{x}_2 = 0$ .

Por outro lado, sabemos que $u+v=(x_1+\overline{x}_1,\, x_2+\overline{x}_2,\, x_3+\overline{x}_3,\, x_4+\overline{x}_4)$ .

Pergunta: considerando as afirmações (1) e (2), podemos afirmar que $x_1+\overline{x}_1 = -2(x_4+\overline{x}_4)$ e $x_3+\overline{x}_3 - 2(x_2+\overline{x}_2)=0$ ?

(iii) Provar que se u está em S e k está em R, então ku também está em S.
Seja $u=(x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4)$ . Como por hipótese ele está em S, então sabemos que:
(1) x_1 = -2x_4

e

.

Por outro lado, sabemos que $ku=(kx_1,\, kx_2,\, kx_3,\, kx_4)$ .

Pergunta: considerando a afirmação (1), podemos afirmar que kx_1 = -2(kx_4)

e

?

Se a resposta para as três perguntas for sim, então S é subespaço de $\mathbb{R}^4$ .

b) T = L { (1,1,0,0), (1,-1,0,2), (0,2,0,-2) }
Para resolver o exercício b) use um esquema parecido com o que foi usado para o exercício a).

Subconjuntos de S

Subconjuntos de S

Subconjuntos de S

Re: Subconjuntos de S

Quem está online