Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

[victordhn]

Olá galera,
To com uma dúvida gigante de como resolver aqui dois itens sobre inequações modulares, são 2 exercicios do livro do Leithold, mas uma versão muito antiga, acho que nao tem resolução na internet.
Pois bem, lá vai

enunciado: resolva para x e use barras de valor absoluto para escrever a resposta

1)
resposta: |x| > |a|

2)
resposta: |x-2| > 2

Se alguem puder resolver com um tipo de passo a passo, eu ficaria bastante grato pois eu não consegui acompanhar o raciocinio de um amigo meu que resolveu aqui exercicios parecidos.

Att
Victor Dahan

[LuizAquino]

1)

Para que uma divisão dê como resultado um número positivo (ou seja, maior do que zero), precisamos ter os jogos de sinais (+):(+) ou (-):(-).

Para que (x-a) seja positivo, basta que x>a. Por outro lado, para que (x+a) seja positivo, basta que x>-a.

Agora, para que (x-a) seja negativo, basta que x<a. Por outro lado, para que (x+a) seja negativo, basta que x<-a.

Portanto, podemos resumir a solução em |x|>|a|.

Para enxergar que podemos fazer isso, basta você aplicar a definição de módulo 2 vezes em |x|>|a|:

• x > |a|, se x positivo.
  
  • x > a, se a é positivo.
  • x > -a, se a é negativo.
• x < -|a|, se x negativo.
  
  • x < -a, se a é positivo.
  • x < a, se a é negativo.

2)







Essa divisão só será positiva (portanto maior do que zero) se x(x-4) > 0. Isso vai ocorrer em x<0 ou x>4. Mas isso é o mesmo que dizer que |x-2|>2, pois pela definição de módulo teremos que:

• x-2 > 2, se (x-2) é positivo. Disso obtemos x>4.
• x-2 < -2, se (x-2) é negativo. Disso obtemos x<0.

[victordhn]

Não estava tendo a sacada de usar a definição de modulo para chegar no resultado. Me ajudou muito.
Muito obrigado pela ajuda professor!