Inequações modulares, dúvidas exerc. Leithold

por **victordhn** » Seg Fev 14, 2011 19:12

Olá galera,
To com uma dúvida gigante de como resolver aqui dois itens sobre inequações modulares, são 2 exercicios do livro do Leithold, mas uma versão muito antiga, acho que nao tem resolução na internet.
Pois bem, lá vai

enunciado: resolva para x e use barras de valor absoluto para escrever a resposta

1) $\frac{x-a}{x+a}>0$
resposta: |x| > |a|

2) $\frac{x-2}{x-4} >\frac{x+2}{x}$
resposta: |x-2| > 2

Se alguem puder resolver com um tipo de passo a passo, eu ficaria bastante grato pois eu não consegui acompanhar o raciocinio de um amigo meu que resolveu aqui exercicios parecidos.

Att
Victor Dahan

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 02:10

1) $\frac{x-a}{x+a}>0$

Para que uma divisão dê como resultado um número positivo (ou seja, maior do que zero), precisamos ter os jogos de sinais (+):(+) ou (-):(-).

Para que (x-a) seja positivo, basta que x>a. Por outro lado, para que (x+a) seja positivo, basta que x>-a.

Agora, para que (x-a) seja negativo, basta que x<a. Por outro lado, para que (x+a) seja negativo, basta que x<-a.

Portanto, podemos resumir a solução em |x|>|a|.

Para enxergar que podemos fazer isso, basta você aplicar a definição de módulo 2 vezes em |x|>|a|:

x > |a|, se x positivo.
- x > a, se a é positivo.
- x > -a, se a é negativo.
x < -|a|, se x negativo.
- x < -a, se a é positivo.
- x < a, se a é negativo.

2) $\frac{x-2}{x-4} >\frac{x+2}{x}$

$\frac{x-2}{x-4} - \frac{x+2}{x} > 0$

$\frac{x(x-2)-(x-4)(x+2)}{x(x-4)} > 0$

$\frac{8}{x(x-4)} > 0$

Essa divisão só será positiva (portanto maior do que zero) se x(x-4) > 0. Isso vai ocorrer em x<0 ou x>4. Mas isso é o mesmo que dizer que |x-2|>2, pois pela definição de módulo teremos que: