Terceira fase OBM 2010

por **victoreis1** » Dom Out 24, 2010 16:14

Essa questão caiu na terceira fase da obm desse ano, do nível 3:

Encontre todos os pares de inteiros positivos (a,b)

tais que

Já tentei fazer por congruência modular, não deu certo..

alguém tem alguma ideia?

por **VtinxD** » Ter Out 26, 2010 23:29

Tive uma ideia aki mas não sei se esta certo.

Pela congruencia modular:
${3}^{a}\equiv 2b^2+1(mod 4)$ ,perceba que se" b" for impar "a" é impar e se "b "for par "a" é par.
Tendo isto em mente voltamos para a igualdade:
{3}^{a}-2{b}^{2}=1
Se "a" for impar teremos:a=2n+1 e b=2k+1
$\left[ \sqrt[]{3}{(3)}^{n}-\sqrt[]{2}(2k+1)\right].\left[\sqrt[]{3}{(3)}^{n}+\sqrt[]{2}(2k+1) \right]=1$ e como n e k são naturais essa equação é impossivel.
Utilizando a mesma tecnica para "a" par: a=2g e b=2r
$\left[{(3)}^{g}-\sqrt[]{2}(2r)\right].\left[{(3)}^{g}+\sqrt[]{2}(2r) \right]=1$ que por acaso a unica solução é a trivial.

Espero ter ajudado(e certo hehe).

por **victoreis1** » Qua Out 27, 2010 14:13

no primeiro caso, com a e b ímpares e a=2n+1 e b=2k+1, note que, se n=2

, temos:

${3}^{5}-2(2k+1)^{2}=1 \longleftrightarrow 2(2k+1)^2 = 244 \longleftrightarrow (2k+1)^2 = 121$

daí temos que 2k+1 = 11

(visto que k deve ser positivo) e $k = 5 \longleftrightarrow b = 11$ e a = 5

.

Veja que sim, é possível que existam soluções para a e b ímpares; o problema é, esta é a única solução para a e b ímpares, ou há outras? é isso que não sei dizer..

por **VtinxD** » Qua Out 27, 2010 16:33

Tenho outra ideia,o teorema util de fermat:
${3}^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ , como (p-1) é sempre par,para todo primo maior que 2, então "b=2k" mas o que é impossível dado que para ${3}^{p-1}\equiv 1 (mod p)$ b=p. Tornando assim impossível "b" par ,para todo a=(p-1) maior do que 2.
Agora espero estar certo.
Só falta uma parte agora, já volto.

por **al-mahed** » Sáb Dez 11, 2010 21:55

Olá, primeiro suponha a par

a = 2k

, assim $3^{2k} - 1 = 2b^2 \ \Rightarrow \ (3^k - 1)(3^k + 1) = 2b^2$ .

como ${\rm mdc}(3^k - 1, \, 3^k + 1) = 2$ , então um fator 2 de um cancela o 2 em 2b^2, como nenhnum outro fator divide ambos os termos, teremos que um deles é um quadrado par, já que um deles é divisível por dois, e o outro por 4, e nenhum quadrado par pode ser incongruente a 4

digamos que $3^k = c^2 - 1 = (c-1)(c+1) \ \Rightarrow \ c-1 = 1 \ \Rightarrow \ k = 1$ então uam solução é (2,2), pois como 3 é primo ele não pode ser decomposto em dois fatores distintos c-1 e c+1, logo o menor é igual a 1

agora digamos que $3^k-1 \equiv 0\: mod\: 4\ \Rightarrow \ k = 2q \ \Rightarrow \ (3^q+1)(3^q-1) = c^2$ , mas ${\rm mdc}(3^q+1, \, 3^q-1) = 2 \ \Rightarrow \ 3^q - 1 = 2 \ \Rightarrow \ q = 1\ \Rightarrow \ c^2=8$ , impossível para c inteiro, veja que k deve ser par pois $3^k-1 \equiv 0\: mod\: 4$ se e somente se 3^k é da forma 4n+1, pois se k for ímpar 3^k será a forma 4n+3, e 4n+3-1 não é divisível por 4

logo a única solução com a sendo par é (2,2).

para a ímpar o buraco é mais embaixo

a = 2k+1

, então $3^{2k+1} - 1 = 2b^2 \ \Rightarrow \ 3^{2k+1} - 3 = 2b^2-2 \ \Rightarrow \ 3(3^{2k} - 1) = 2(b^2-1)$
assim
3(3^k - 1)(3^k+1) = 2(b-1)(b+1)

há duas soluções triviais k = 0 (a=1) e b = 1, ou a = 0 e b = 0, e ñ há inteiro k, mas suponha que k>0

como $mdc(3^k - 1,\:3^k+1) = 2 \ \Rightarrow \ (3^k - 1)(3^k+1)\equiv 0\: mod\: 8 \ \Rightarrow$ b é ímpar $\ \Rightarrow \ b = 2n+1 \ \Rightarrow$

$b^2 = 4n(n+1)+1 \ \Rightarrow \ \: 3^{2k+1} - 1 = 2[4n(n+1)+1] \ \Rightarrow \ \: 3^{2k+1} = 8n(n+1)+3 \ \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \ \: 3^{2k} = (3^k)^2=\frac{8n(n+1)}{3}+1$ já que (3^k)^2

é um quadrado perfeito ímpar, ele deve ser da forma $\frac{8m(m+1)}{2}+1$ , logo

$(3^k)^2 =\frac{8m(m+1)}{2}+1 =\frac{8n(n+1)}{3}+1\ \Rightarrow \ \: 3m(m+1)=2n(n+1)$

isso significa que $\frac{n(n+1)}{3}$ deve ser triangular, já que $\frac{m(m+1)}{2}$ é triangular

uma solução em que ambos são triangulares é quando $n = m+1 = 5\ \Rightarrow \: a=5\: e\: b=11$

para completar a prova indo nessa direção teria que mostrar que não há outras soluções tal que $\frac{n(n+1)}{3}$ seja triangular e $8\frac{n(n+1)}{3}+1$ seja uma potência de 3.

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