Limites com raiz no numerador

por **liliars** » Qua Jul 07, 2010 16:34

Preciso de ajuda com o seguinte limite:

$\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{\sqrt[]{x² + 2x}}{5x - 1}$

Sei que tem de multiplicar pela raiz/raiz, mas depois, não consigo eliminá-la do denominador.
Alguém?

por **liliars** » Qua Jul 07, 2010 16:36

* x² aí em cima, hihi.

por **Tom** » Qui Jul 08, 2010 01:20

Desejamos obter: $\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{5x - 1}$

Ora, $\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{5x - 1}=\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})}}{x(5 - \frac{1}{x})}=\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{x(5 - \frac{1}{x})}=\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{|x|}{5x}$

Liliars, como você não definiu se o limite é tendendo a $+\infty$ ou $-\infty$ , vou fazer os dois casos:

Para $\lim_{x \rightarrow+\infty}\frac{|x|}{5x}$ ; como $x\rightarrow+\infty$ decorre em |x|=x

e assim, $\lim_{x \rightarrow+\infty}\frac{|x|}{5x}=\dfrac{1}{5}$

Para $\lim_{x \rightarrow-\infty}\frac{|x|}{5x}$ ; como $x\rightarrow-\infty$ decorre em |x|=-x