Problema de Contagem

por **davi_11** » Sáb Abr 03, 2010 17:47

Uma aranha tem 8 meias e 8 sapatos. De quantas maneiras ela pode vestir as meias e os sapatos sabendo que um sapato só pode ser vestido depois de uma meia?

Sei que o número de soluções é (8!)^2

vezes o número de casos. Como posso descobrir quantos casos diferentes tem o problema?

por **estudandoMat** » Sáb Abr 03, 2010 19:41

Como assim quantos casos diferentes?
Axo que todas as maneira dela colocar as meias e sapatos serão diferentes,já que ele não disse que eram 4 pares de meia, e sim 8 meias, entao eu considero todas diferentes. Que vai ser o mesmo resultado de (8!)². É oq eu axo.

Mas pra descobrir permutações com repetições, por exemplo: anagramas da palavra TARTARUGA , vc tem q dividir pelo valor dos elementos que se repetem:
A = 3 vezes
R = 2 vezes
T = 2 vezes

$\frac{9!}{3!2!2!}$

por **davi_11** » Sáb Abr 03, 2010 22:53

Casos diferentes que eu digo é que ela pode, por ex., colocar duas ou mais meias antes de começar colocar os sapatos, ou ela pode colocar três meias, um sapato e depois mais duas meias... São muitos casos diferentes a considerar.

por **estudandoMat** » Sáb Abr 03, 2010 23:14

E ai, blz?
Entao, ela nao pode colocar 2 meias ao mesmo tempo pq se ela fizer isso no final ela terá que colocar 2 sapatos seguidos. E aí diz q ela so pode colocar sapato depois de 1 meia. Assim:

Um exemplo, colocando mais de 1 meia:
meia - meia - sapato - meia - meia - sapato - meia - sapato - meia - sapato - meia - sapato - meia

sobram ainda 3 sapatos, que não podem ser colocados juntos

por **davi_11** » Sáb Abr 03, 2010 23:25

Na verdade quando digo que ela só pode por um sapato depois de uma meia, quero dizer que, para vestir um sapato num determinado pé, este já deve conter uma meia.

por **MarceloFantini** » Dom Abr 04, 2010 04:30

Boa noite.

Como exemplo, vou usar o caso de que ela veste a meia e põe um sapato em seguida:

1ª meia: 8 possibilidades.
1º sapato: 8 possibilidades.

2ª meia: 7 possibilidades.
2º sapato: 7 possibilidades.

3ª meia: 6 possibilidades.
3º sapato: 6 possibilidades.

4ª meia: 5 possibilidades.
4º sapato: 5 possibilidades.

5ª meia: 4 possibilidades.
5º sapato: 4 possibilidades.

6ª meia: 3 possibilidades.
6º sapato: 3 possibilidades.

7ª meia: 2 possibilidades.
7º sapato: 2 possibilidades.

8ª meia: 1 possibilidade.
8º sapato: 1 possibilidade.

Multiplicando: $8\cdot8\cdot7\cdot7\cdot6\cdot6\cdot5\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\cdot3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1$

Rearranjando: $8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 \Rightarrow 8! \cdot 8! = (8!)^2$

Vale a observando: qualquer ordem que vocês coloquem as meias e depois os sapatos, a multiplicação será a mesma.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

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