Limites exponenciais

por **lunayanne** » Dom Mar 07, 2010 00:15

Olá! Eu tenho um pouco de dificuldade com limites e gostaria de ajuda para resolver alguns:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{{x}^{x}-4}{x-2}$

$\lim_{x\rightarrow1}({x}^{n}+{x}^{n-1}+...+-1)$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[2]{x}}$

Conto com a ajuda de vocÊs. Obrigada.

por **ogoiD** » Sáb Mar 27, 2010 23:07

Na primeira e terceira , é só voce fatorar e cancelar o divisor , depois substitui o valor

por **lucas92** » Ter Abr 13, 2010 03:57

$= \lim_{x\rightarrow1} \left(x+x^2+...+x^{n-1}+x^n \right) =$

lunayanne escreveu:Olá! Eu tenho um pouco de dificuldade com limites e gostaria de ajuda para resolver alguns:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{{x}^{x}-4}{x-2}$

$\lim_{x\rightarrow1}({x}^{n}+{x}^{n-1}+...+-1)$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[2]{x}}$

Conto com a ajuda de vocÊs. Obrigada.

A primeira, nem faço ideia de como se resolve.

A segunda, na verdade, é o limite da soma de n funções potências, observe:

$\lim_{x\rightarrow1} \left(x^n+x^{n-1}+...+x^{n-\left(n-2 \right)}+x^{n-(n-1)}+x^{n-n}-1 \right) =$

$= \lim_{x\rightarrow1} \left(x^n+x^{n-1}+...+x^2+x+1-1 \right) =$

$= \lim_{x\rightarrow1} \left(x^n+x^{n-1}+...+x^2+x \right) =$

$= 1+1^2+...+1^{n-1}+1^n =$

= 1+1+...+1+1

.

Na terceira, aplicando o limite, dá "0/0". Então, devemos primeiro, transformar os radicais para que eles tenham o mesmo índice:

$\lim_{x\rightarrow1} \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[2]{x}} = \lim_{x\rightarrow1} \frac{1-\sqrt[6]{x^2}}{1-\sqrt[6]{x^3}}$

Vamos fazer uma mudança de variável. Fazendo $\sqrt[6]{x} = k$ , temos que $\sqrt[6]{x^2} = k^2$ e $\sqrt[6]{x^3} = k^3$ . E se $x\rightarrow1$ , então $k\rightarrow\sqrt[3]{1} = 1$ . Aí ficamos com:

$\lim_{x\rightarrow1} \frac{1-\sqrt[6]{x^2}}{1-\sqrt[6]{x^3}} = \lim_{k\rightarrow1} \frac{1-k^2}{1-k^3}$

Aplicando novamente o limite, continua ainda a indeterminação "0/0". Mas agora nós temos um limite do quociente entre duas funções polinomiais. E se k=1 zera o polinômio do numerador e do denominador, então esses polinômios são divisíveis por $\left(k-1 \right)$ . Logo, temos:

$\lim_{k\rightarrow1} \frac{1-k^2}{1-k^3} = \lim_{k\rightarrow1} \frac{\left(k-1 \right)\left(-k-1 \right)}{\left(k-1 \right)\left(k^2+k+1 \right)} = \lim_{k\rightarrow1} \frac{-k-1}{k^2+k+1} = \frac{-1-1}{1^2+1+1} = \frac{-2}{3}$ .

Limites exponenciais

Limites exponenciais

Limites exponenciais

Re: Limites exponenciais

Re: Limites exponenciais

Quem está online