[LIMITES][ Indeterminação com Raiz no numerador]

por **maurosilva7** » Qua Abr 22, 2015 19:42

Gostaria de saber como saio da indeterminação $\frac{0}{0}$ nesse exercício: $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{2-x^2}-1}{x-1}$ .
Eu tento multiplicar pelo termo conjugado do numerador, mas não consigo sair da indeterminação pois tanto o denominador quanto o numerador continuam zerando.

por **DanielFerreira** » Sáb Abr 25, 2015 22:26

Olá Mauro, seja bem-vindo!

Deveria ter racionalizado o numerador, veja:

$\\ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 - x^2} - 1}{x - 1} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 - x^2} - 1}{x - 1} \times \frac{\sqrt{2 - x^2} + 1}{\sqrt{2 - x^2} + 1} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{2 - x^2 - 1}{(x - 1)(\sqrt{2 - x^2} + 1)} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{(x - 1)(\sqrt{2 - x^2} + 1)} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(1 - x)}(1 + x)}{- \cancel{(1 - x)}(\sqrt{2 - x^2} + 1)} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(1 + x)}{-(\sqrt{2 - x^2} + 1)} = \\\\\\ \frac{1 + 1}{- (\sqrt{1} + 1)} = \\\\\\ \boxed{- 1}$