Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

por **Dalia96** » Ter Abr 21, 2015 13:39

Poderia alguém me dizer como chegar na fórmula da soma:
Sn=1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6

Agradeço!

Website · por **alexandre_de_melo** » Qua Jul 29, 2015 22:11

PRIMEIRA FORMA

$(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1 \Rightarrow (1+1)^3-1^3=3*1^2+3*1+1$

$(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*1+1 \Rightarrow (2+1)^3-2^3=3*2^2+3*2+1$

.
.
.

$(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1 \Rightarrow (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1$

teremos então:
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

.
.
.

Somando o primeiro membro das equações acima, obteremos (n+1)^3-1^3

.
Somando o segundo membro, obteremos $\sum_{i=1}^{n}(3*i^2+3*i+1)= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n$
Igualando os dois membros, teremos :
$(n+1)^3-1^3= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n$ , e logo,
$(n+1)^3-1^3-3\sum_{i=1}^{n}i-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2$ . Desenvolvendo,
$(n+1)^3-1-3*\frac{(n+1)*n}{2}-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2$ .
Desenvolvendo o primeiro membro, simplificando e dividindo por 3, obteremos $\sum_{i=1}^{n}i^2$

Ufffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!!

SEGUNDA MANEIRA:

$\sum_{i=1}^{n}i^2$ = $\sum_{i=1}^{n}(i^2+i-i)$
$=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)+\sum_{i=1}^{n}(-i)=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)-\sum_{i=1}^{n}i$
$=\sum_{i=1}^{n}[i(i+1)]-\sum_{i=1}^{n}i$
$=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)-\sum_{i=1}^{n}i$
$=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)- \frac{(n+1)n}{2}$
Usando o teorema de colunas(triângulo de Pascal), temos:
$=\left(^{n+2} _3\right)- \frac{(n+1)n}{2}$
E agora, é só desenvolver e simplificar essa contarada!!!! kkkkkk
Acho que já ajudei, né?!?!?!? Desculpe qualquer coisa e grande abraço!!! Fuiiiiii!!!!

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