Progressão geométrica (ITA)

por **Ananda** » Sex Mar 07, 2008 13:27

Boa tarde!

Qual é a solução geral da equação

$sen^2x+sen^4x+sen^6x+sen^8x+sen^{10}x=5$ ?

Resposta: $\{x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n.\pi, n \in Z\}$

Bom, usando a soma de termos finitos obtive:

$5(1-sen^2x)=sen^2x(1-sen^{10}x)$

$5\frac{cos^2x}{sen^2x}=cos^{10}x$

$\frac{5}{sen^2x}=cos^{8}x$

Desse ponto não enxerguei mais nada...
Mas olhando a equação vi que senx só pode ser 1 ou -1, já que a soma de 5 termos elevados a expoentes pares deu 5.
Gostara de saber como resolver essa equação...
Grata desde já!

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 02:30

Olá Ananda!

Também há um outro colaborador pensando em sua dúvida.
Enquanto isso, verifique sua passagem.
$1-sen^{10}x \neq cos^{10}x$

Como exemplo da continuação da soma de termos, eu encontrei:

$5cotg^2x = 1 - sen^{10}x$

Até mais.

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 10:23

Bom dia!
É diferente porque entra naquela resolução com binômio, né?
Vou tentar hoje resolver novamente para ver se enxergo algo novo!
Grata!

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 11:38

Bom dia, Ananda.

Então, eu percebi que você considerou igual, mas a relação fundamental da trigonometria é:
sen^2x + cos^2x = 1

Esta igualdade é falsa:
$sen^{10}x + cos^{10}x = 1$

Eu também já desenvolvi este binômio do terceiro membro, mas não obtive sucesso na simplificação da equação:
$\left( sen^2x \right)^5 = sen^{10}x = \left( 1 - cos^2x \right)^5$

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 13:05

Ananda, uma outra forma que pensei para lidar com este expoente 10, é utilizar esta redução de potência, seguida pela expansão binomial:

$sen^{10}x = \left( sen^2x \right)^5 = \left( \frac{1-cos2x}{2} \right)^5$

E quando as potências em cosseno aparecerem, utilizar esta outra redução:

$cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2}$

Pois
$cos^5\theta = \left( cos^2\theta \right)^2 \cdot cos\theta$

Mas este processo é desanimador, ainda prefiro tentar buscar um caminho melhor.

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 13:39

Partindo do que tinhas colocado anteriormente:
$5\frac{cos^2x}{sen^2x}=\left(1-cos^2x \right)^5$

E que:

sen^2x=1-cos^2x

Está certo considerar:

$5cos^2x=\left(1-cos^2x \right)^6$

Certo?

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 13:42

Se bem que na prova real não daria certo...

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 13:43

Opa, dá sim!
Cos tem que ser zero, certo?

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 13:45

Ananda, como
$sen^{10}x = \left(1-cos^2x \right)^5$

Acho que você quis partir daqui:
$5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5$

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 13:46

Exatamente!
E eu me enrolei com a prova real e por fim, vi que estava dando:
0 = 1

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 13:51

OK, mas a simplificação não está evidente, mesmo partindo daqui:
$5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5$

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 13:55

Partindo daí, só cheguei a:

$6cos^2x-1 = - \left(1-cos^2x \right)^6$

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 14:09

O que dá uma equação de grau 6 em cos^2x

.

Mas, partindo de outro desenvolvimento, eu já tinha obtido outra equação de grau 6 em sen^2x

:
$sen^{12}x - 6sen^2x + 5 = 0$

Fazendo uma substituição: t = sen^2x

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 14:29

E como se resolveria isso?
Em programa de função, acho a resposta, mas como se faz no lápis?

por **admin** » Seg Mar 10, 2008 15:31

Não há uma forma genérica para resolução de equações de grau 6.

Estou utilizando a inequação:
$-1 \leq senx \leq 1$

E que:
$0 \leq sen^2x \leq 1$

Logo, sendo:
f(t) = t^6 -6t + 5

$0 \leq dom f \leq 1$

f(0) = 5

(raiz no domínio)

E utilizando argumentos do cálculo, estudando a primeira e segunda derivadas de f no domínio, garantimos que f é côncava para cima e decrescente no intervalo [0, 1], portanto, t=1 é a única raiz.

Então,

t = sen^2x = 1

$\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}$

$\left| senx \right| = 1$

$senx = \pm 1$

$\Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \math{Z}$

Mas ainda vale tentar outra solução sem recorrer ao cálculo para justificar.

por **Ananda** » Seg Mar 10, 2008 15:38

Hmmm, grata...
De qualquer modo, a resolução desse exercício foi mais uma "curiosidade", já que não pretendo prestar ITA.
Mas conseguindo fazer todos ou quase todos os exercícios de cada capítulo, acredito que estarei mais apta a fazer as provas das faculdades que prestarei.
Mais uma vez, grata!

por **admin** » Qua Mar 12, 2008 16:46

Olá Ananda, boa tarde!

Hoje pensei em um modo mais simples de fazer, sem argumentos do cálculo, utilizando o fato de o conjunto imagem da função seno ser limitado entre -1 e 1 e as definições da progressão geométrica, veja:

Nossa PG: $(sen^2x, sen^4x, sen^6x, sen^8x, sen^{10}x)$
Com primeiro termo: sen^2x

E razão:

Tal que

(soma dos 5 primeiros termos)

A conjunto imagem da função seno é limitado:
$-1 \leq senx \leq 1$

Como o quadrado de um número real nunca é negativo, segue que:
$0 \leq sen^2x \leq 1$

Considerando a razão que é sen^2x

, vamos listar todas as possibilidades de classificação desta PG:

Caso I) Se sen^2x = 0

Implicaria uma PG constante com termos nulos.

Caso II) Se 0 < sen^2x < 1

Implicaria uma PG decrescente com cada termo menor que o anterior.

Caso III) Se sen^2x = 1

Implicaria uma PG constante com termos iguais e não nulos.

Agora, analisemos cada caso:

Caso I) Não convém, pois teríamos:
PG = (0, 0, 0, 0, 0)

Com

.

Caso II) Como 0 < sen^2x < 1

Segue que:
0 < sen^4x < 1

$0 < sen^{10}x < 1$

E então:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 1 + 1 + 1 + 1 + 1$

$0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 5$

Que também não convém, pois teríamos: 0 < S_5 < 5

Caso III) É o caso restante.
Tanto que para sen^2x = 1

, vale a equação trigonométrica da soma de termos da PG:

$sen^2x + sen^2x \cdot sen^2x + sen^2x \cdot (sen^2x)^2 + sen^2x \cdot (sen^2x)^3 + sen^2x \cdot (sen^2x)^4 = 5$

Logo, de fato, sen^2x = 1

.

E segue que:
$\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}$

|senx| = 1