LOGARITMO - Questão 40 - Vestibular 2012 UFRN

por **Anastacia Vaz** » Dom Abr 07, 2013 12:03

Gostaria de ajuda para resolver a seguinte questão:

No ano de 1986, o município de João Câmara – RN foi atingido por uma sequência de tremores sísmicos, todos com magnitude maior do que ou igual a 4,0 na escala Richter. Tal escala segue a fórmula empírica, em que M é a magnitude, E é a energia liberada em KWh e E0=7x10-3KWh.
Recentemente, em março de 2011, o Japão foi atingido por uma inundação provocada por um terremoto. A magnitude desse terremoto foi de 8,9 na escala Richter. Considerando um terremoto de João Câmara com magnitude 4,0, pode-se dizer que a energia liberada no terremoto do Japão foi

A) 107,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
B) cerca de duas vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
C) cerca de três vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
D) 1013,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.

Resposta Gabarito: A

por **nakagumahissao** » Dom Abr 14, 2013 13:45

Por favor, utilize o editor de equações quando for postar. Aprender a utilizá-lo não vai lhe tomar mais que alguns minutos.

Ficaram faltando as equações (fórmulas) na postagem da sua questão, que deveria ter sido a seguinte:

No ano de 1986, o município de João Câmara – RN foi atingido por uma sequência de tremores sísmicos, todos com magnitude maior do que ou igual a 4,0 na escala Richter. Tal escala segue a fórmula empírica $M = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{E}{E_{0}}$ , em que M é a magnitude, E é a energia liberada em KWh e E0 = 7 x 10-3 KWh. Recentemente, em março de 2011, o Japão foi atingido por uma inundação provocada por um terremoto. A magnitude desse terremoto foi de 8,9 na escala Richter. Considerando um terremoto de João Câmara com magnitude 4,0, pode-se dizer que a energia liberada no terremoto do Japão foi:

a) $10^{7,35}$ vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
b) cerca de duas vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
c) cerca de três vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
d) $10^{13,35}$ vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.

por **nakagumahissao** » Dom Abr 14, 2013 14:34

RESOLUÇÃO:

$M = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{E}{E_{o}}$

Em João Câmara - RN, foi constatado 4,0 nesta escala. Logo:

$4 = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{E}{E_{o}}\Rightarrow 6 = \log_{10} \frac{E}{E_{o}}$ ,

Mas,

$\log_{10} \frac{E}{E_{o}} = \log_{10} E - \log_{10} E_{o}$ .

Então:

$6 = \log_{10} E - \log_{10} E_{o} = \log_{10} E - \log_{10} 7 \times 10^{-3}=$

$= \log_{10} E - (\log_{10} 7 + \log_{10} 10^{-3})$

$6 = \log_{10} E - (\log_{10} 7 -3) = \log_{10} E - \log_{10} 7 + 3 \Rightarrow$

$\Rightarrow 6 - 3 = \log_{10} \frac{E}{7}\Rightarrow 3 = \log_{10} \frac{E}{7} \Rightarrow 10 ^{\log_{10} \frac{E}{7}} = 10^{3} \Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{E}{7} = 1000 \Rightarrow E = 7000$

Façamos, de forma semelhante, para o terremoto do Japão, cuja magnitude foi de 8,9:

$M = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{E}{E_{o}}$

$8,9 = \frac{2}{3} \log_{10} \frac{E}{E_{o}} \Rightarrow$

$\Rightarrow 13,35 = \log_{10} E - \log_{10} E_{o} \Rightarrow$

$\Rightarrow 13,35 = \log_{10} E - \log_{10} 7 + 3 \Rightarrow$

$\Rightarrow 10,35 = \log_{10} \frac{E}{7} \Rightarrow$

$\Rightarrow 10^{\log_{10} \frac{E}{7}} = 10^{10,35}\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{E}{7} = 10^{10,35} \Rightarrow E = 7 \times 10^{10,35}$

Como estamos querendo comparar as duas energias, devemos então dividir os resultados para E entre Japão e de João Câmara - RN para termos a proporção. Então:

$\frac{E_{J}}{E_{RN}} = \frac{7 \times 10^{10,35}}{7000} = 0,001 \times 10^{10,35} =$

$= 10^{-3} \times 10^{10,35} = 10^{-3 + 10,35} = 10^{7,35}$

Logo:

O terremoto do Japão foi 10^7,35 vezes maior que o de João Câmara e a resposta correta é (a).