Soma dos Ângulos internos.

por **sauloandrade** » Sáb Dez 29, 2012 21:07

Boas pessoal, me deparei com o seguinte problema e não estou conseguindo resolver. Gostaria de pedir a ajuda de vocês para dizer-me onde eu estou errando.

"O Ângulo ADC de um polígono regular ABCDEf...mede 30°.Determine a soma dos ângulos internos desse polígonos.

Então, fiz da seguinte maneira:
Sabemos que Soma dos ângulos internos é: (n-2)180

. Sabemos ainda que o polígono é regular então, se eu pegar a soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados eu obterei a medida de cada ângulo interno.
30n=(n-2)180

resolvendo teremos n=2,4

.
Me quebrei ai, pois o n não pertence ao conjunto dos inteiros.

Onde estou errando? ;-;

por **e8group** » Dom Dez 30, 2012 11:30

Bom dia .Há um erro no enunciado ,certo ? Você realmente quer achar a soma dos ângulos ineternos ou apenas obter o valor correspondente a este ângulo interno ?

Se for apenas a soma interna destes ângulos , basta aplicar a fórmula $S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}$ . Como o polígono é regular e, é constituido pelos vertices A B C D E F

,ou seja é um hexagono , possui 6 lados .

Segue que , $S_i = (6-2) 180^{\circ} = 720^{\circ}$ .

Não conseguir compreender sua solução , poderia explicar como chegou a esta conclusão $30n=(n-2) 180^{\circ}$ ? comente qualquer coisa .

por **sauloandrade** » Dom Dez 30, 2012 14:44

Olá santhiago.

O polígono não é um hexágono, pois pelo enunciado, ele é formado pelos vértices ABCDEF... Há uma reticência que significa que o polígono é formado por n vértices, e eu preciso determinar o valor de n para obter a soma dos ângulos internos.
Sobre minha resolução deixa eu explicar com exemplos:
Como eu disse, se eu pegar a soma dos ângulos internos de um polígono REGULAR e dividir por n eu terei o valor de cada ângulo interno. Pegue por exemplo, o quadrado. Sabemos que a soma dos ângulos internos é 360°e possui 4 lados. Dividindo a soma dos ângulos internos (360°) pelo número de lados (4), eu obterei o valor de cada ângulo interno do polígono, no caso 4 ângulos de 90°.
Então aplicando o mesmo raciocínio, teremos:
Imagem

resolvendo n=2,4.
Isso não é possível, pois não existe polígono com número de lado 2,4. rs.

é ficou confuso por que eu não sei por fração no latex ai eu adiantei um pouco o cálculo, desculpa.

por **e8group** » Dom Dez 30, 2012 16:14

Ok compreendo .

Nosso objetivo é obter o número de lados ,para calcular a soma interna dos ângulo .

Obs.: Tome cuidado , o ângulo ADC

ser igual a $30^{\circ}$ não implica que cada ângulo interno é igual ADC

.

Observe a figura .
Vamos supor que cada ângulo interno meça $\gamma$ .

Pela nossa hipótese , $\gamma = S_i / n = \frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}$ .

Veja a figura como ilustração . Estou supondo que n = 9

,mas não necessariamente é verdade .

No triângulo ABC

. Temos $\beta_1 + \gamma + \beta_1 = 180^{\circ} \implies \gamma = 180^{\circ} - 2\beta_1$ .

No triângulo ADC

.Temos $\beta_2 + \gamma + \beta_2 = 2 \beta_2 + \gamma = 180^{\circ}$ .

Mas para cada triângulo , $ABC , ACD , ADE , AEF , (\dots )$ .Temos que ,

$\beta_2 = 2 \beta_1$

$\beta_3 = 3\beta_1$

$\vdots$

$\beta_{n-2} = {n -2}\beta_1$

Assim , $\beta_2 = 30^{\circ} = 2 \beta_1 \implies \beta_1 = 15^{\circ}$ .

Lembrando que ,

$\beta_1 + \gamma + \beta_1 = 180^{\circ}$ implica $\gamma = 150^{\circ}$ .

Conclusão ,

Temos por um lado que ,

$S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}$ . Entretanto por outro lado , $S_i = \gamma + \gamma + \dots + \gamma = n \cdot \gamma = n\cdot 150^{\circ}$ (n-vezes)

logo ,

$n\cdot 150^{\circ} = (n-2)\cdot 180^{\circ}$ .

Resolvendo encontrará n = 12