Cálculo 2: Integral tripla

por **Eduardo Pereira** » Dom Out 24, 2010 19:03

Pessoal, sou novo por aqui, então não sei bem como funciona, mas queria ajuda para resolver esse exercício de Cálculo 2:

Usar coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a expressão:
$\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt[2]{a^2-x^2}}\int_{0}^{\sqrt[2]{a^2-x^2-y^2}}x^2 dz dy dx$

Sei que a superfície superior do sólido vai ser z = a^2 - x^2 - y^2

e passando isso para coordenadas cilíndricas, eu fico com z = a^2 - r^2

A superfície inferior vai ser um plano xy de equação z = 0
e pelos limites de integração em x e y, a projeção R é a região do plano xy delimitada pelo círculo y^2 + x^2 = a^2

então o ângulo $\Theta$ vai variar de 0 a $2\Pi$
r vai variar de 0 a a
e o integrando que é x² eu vou ter que mudar para $r^2 - (rsen\Theta)^2$

ficando assim:
$\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a^2-r^2}[r^2 - (rsen\Theta)^2]dz dr d\Theta$

mas a resolução está ficando muito extensa e complicada, então não sei se está certo.
O que vocês acham? Eu estou fazendo errado? Tem outra maneira de fazer isso que seja mais simples?

por **luispereira** » Qui Dez 23, 2010 23:00

na verdade oque você esta integrando x^2

em torno de uma esfera de raio a. O Jacobiano para esta situação(coordenadas esféricas) é:

$I=r^2sin{\phi}d{r}d{\phi}d{\theta}$ com $x=rsin{\phi}cos{\theta}$

Daí, o cálculo fica:

$\int^{2\pi}_{0}\int^{\pi}_{0}\int^{a}_{0}r^4{sin{\phi}}^3{cos{\theta}}^2drd{\phi}d{\theta}=\frac{4R^5\pi}{15}$

Não demonstrei a integral porque essa é a parte mais fácil de fazer e acho que esse não é seu problema, mas sim a construção. Se o resultado não for esse, fale-me que eu resolverei denovo

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