medidas

por **thayna** » Sáb Out 23, 2010 12:08

A figura 1, abaixo, tem dois trapézios e um triângulo retângulo, que formam o quadrado ABCD, cujo lado
mede 30 centímetros.
Prolongando os segmentos CD e BM, encontramos o ponto G, como mostra a figura 2
http://www.cp2.g12.br/concurso/alunos/ensino_medio/200708/regular/provas/diurno/Prova_Matematica_Diurno.pdf
é a questão número 7

a) A medida do segmento OC.
b) A medida do segmento GD.
c) A área do trapézio MNOD.

por **VtinxD** » Dom Out 24, 2010 00:38

Questões de geometria tem muitos caminhos de resolução , vou mostra apenas 1 ,depois tente achar outros.

a)Pela relação do enunciado:
$\frac{OC}{DO}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2.OC=DO$ e como DO+OC=L ,onde L é o lado do retangulo.Temos:
$DO=L-CO\Rightarrow2.CO=L-CO\Rightarrow3.CO=l\Rightarrow CO=\frac{L}{3}\Rightarrow OC=10cm \Rightarrow OD=20 cm$
B)Perceba que o triangulo AMB é semelhante a GDM , pois o angulo AMB=GMD porque são opostos pelo vertice e os dois são triangulos retangulos,sendo assim podemos tirar a relação:
$\frac{AB}{GD}=\frac{AM}{MD}\Rightarrow AB.MD=GD.AM$ e como AM=OD e MD=OC pelo dado do exercicio, temos:

$GD=\frac{AB.MD}{AM}\Rightarrow GD=\frac{30.10}{20}\Rightarrow GD=15cm$
C)Como o triangulo GMD é semelhante ao triangulo GNO ,temos:
$\frac{GD}{GD+OD}=\frac{MD}{ON}\Rightarrow ON.GD=MD(GD+OD)\Rightarrow ON=\frac{MD(GD+OD)}{GD}\Rightarrow ON=\frac{10(15+20)}{15}\Rightarrow ON=\frac{350}{15}\Rightarrow ON=\frac{70}{3}cm$
Pela fórmula da área do trapézio:
$S=\frac{OD.(MD+ON)}{2}\Rightarrow S=\frac{20.(10+\frac{70}{3})}{2} \Rightarrow S =\frac{20.(\frac{100}{3})}{2}\Rightarrow S=\frac{1000}{3}$
Espero ter ajudado.Boa noite

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