Matrizes

por **DanielRJ** » Qui Set 09, 2010 15:43

Uma matriz real A é ortogonal se A.A^t= In

, onde

é a matriz identidade e A^t

a transposta de A.
Se a Matriz

$A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end{pmatrix}$ é ortogonal, então x^2+y^2

é igual a:

a)1/4
b)1/3
c)1/2
d)3/2
e)2/3

olá pessoal não consigo desenvolver deem uma olh na minha resolução:

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ fiz as operações e cheguei a isso:

$\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+x^2 & \frac{y}{2}+zx \\ \frac{y}{2}+zx & y^2+z^2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Apartir daqui se estiver correto o que fiz não consigo desenvolver as operações obrigado pessoal até mais.!

por **MarceloFantini** » Qui Set 09, 2010 17:27

$A = \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end {pmatrix}$

$A^t = \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end {pmatrix}$

$A \cdot A^t = \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}$

$\begin {pmatrix} \frac{1}{4} + x^2 & \frac{y}{2} + xz \\ \frac{y}{2} + xz & y^2 + z^2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}$

Podemos extrair três equações:

$x^2 + \frac{1}{4} = 1$
$\frac{y}{2} + xz = 0$
y^2 + z^2 = 1

Da primeira: $x^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow |x| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y +2xz = y + z \sqrt{3} = 0$
$y^2 + z^2 = 3z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow |z| = \frac{1}{2} \Rightarrow y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Alternativa D.

por **DanielRJ** » Qui Set 09, 2010 17:57

Fantini obrigado pela resposta. Só que fiquei muito confuso nas operações la no final.
tem como explicar sem usar o modulo?

por **MarceloFantini** » Qui Set 09, 2010 18:26

O módulo foi apenas questão de rigor. Imaginei que você já soubesse que $\sqrt{x^2} = |x|$ . Ele não altera o resultado final pois, como eu acabei de dizer, |x|^2 = x^2

.

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